Probabilida

EXPRESION DE PROBABILIDAD

EXPRECION DE LA PROBABILIDAD

Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque debemos calcular el siguiente cociente: N(A) P(A) = ------------- N(S)

Donde: N(A): resultados elementales posibles son favorables en el evento A

N(S): posibles resultados en el espacio muestral

EJEMPLOS 1) En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as (A) en una sola extracción es N(A) 4 1 P(A) = ------ = ----- = ---- N(S) 52 13

2) El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba? P( caiga 2 ) = 1 = .166 ---- 6

B.ENFOQUE DE FRECUENCIAS RELATIVAS (a posteriori o empírico)

Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos.

No implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades.

A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.

Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque debemos calcular el siguiente cociente: Número de observaciones de A n(A)

P(A) = -------------------------------------- = ------- Tamaño de la muestra n

EJEMPLOS

1) Antes de incluir la cobertura para ciertos tipos de problemas dentales en pólizas de seguros médicos para adultos con empleo, una compañía de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en estadística recopila datos para 10,000 adultos que se encuentran en las categorías de edad apropiadas y encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental específico durante el año anterior. Por ello, la probabilidad de ocurrencia es: 100

P(A) = --------------- = 0.01, o 1%

10,000

2) Se sabe que una moneda está cargada. Para determinar la probabilidad de que caiga águila se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cayó águila. Si aplicamos la fórmula: P ( cae águila ) = 25 = 0.41 ---------- 60

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada evento definido sobre la variable aleatoria una probabilidad. La distribución de probabilidad describe el rango de valores de la variable aleatoria así como la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria esté dentro de un subconjunto de dicho rango.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Definición de función de distribución

Dada una variable aleatoria X, se define su función de distribución, FX(x), definida por:

Para simplificar la notación, cuando no hay lugar a confusión se omite el subíndice X, y se escribe simplemente F(x).

Por las propiedades de la probabilidad se cumplen las siguientes tres condiciones:

y

Es continua por la derecha.

Es monótona no decreciente.

La función de distribución es la acumulada de la función de densidad de probabilidad f(x). Es decir, se calcula directamente según:

Si x es una variable aleatoria discreta

Si x es una variable aleatoria continua

Propiedades

Para dos números reales cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos y serán mutuamente excluyentes y su unión es el suceso , por lo que tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta

Distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor x.

Distribuciones de variable discreta más importantes

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

Distribución binomial

Distribución binomial negativa

Distribución Poisson

Distribución geométrica

Distribución hipergeométrica

Distribución de Bernoulli

Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad 1 / 2 y el valor -1 con probabilidad 1 / 2.

Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son igualmente probables.

Distribuciones de variable

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