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4.1 Definición de un espacio vectorial

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ).

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Satisfacen diez axiomas donde X,Y,Z vectores:

1) Si X pertenece a V y Y, entonces X+Y pertenece a V

(Cerradura bajo la suma).

2) Para todo X,Y,Z en V, (X+Y)+Z=X+(Y+Z)

(Ley asociativa de la suma de vectores)

3) Existe un vector 0 pertenece a V tal que para todo x que pertenece a V, X+0=0+X=X.

(Identico Aditivo)

4) Si X pertenece a V, Existe un vector -X en V tal que X+(-X)=0

(Inverso Aditivo de X)

5) Si X y Y estan en V, entonces X+Y=Y+X

(Ley de conmutatividad)

6) Si X pertenece V y t es un escalar, entonces t*X tambien pertenece a V

(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

7) Si X y Y pertenecen a V y k es un escalar, entonces k*(X+Y)=k*X+k*Y

(Primera de distributiva)

8) Si X y Y estan en V y t y k son escalares entonces (t+k)*X=tX+kX

(Segunda ley distributiva)

9) Si X pertenece y k y t son escalares,entonces k*(t*X)=(k*t)*X

(Ley asociativa de multiplicacion por un escalar)

10) Para cada vector X que pertenece a V, 1X=X.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Sea U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Un subconjunto no vacío S de U es un subespacio vectorial de U si y si olo si S es un espacio vectorial sobre IK respecto a las leyes de composición heredadas de U

Ejemplo:

Calcular bases de los subespacios de R

4 S, T, S + T y S ∩ T, siendo S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0}

y T =< (1;1;2;1);(2;3; −1;1) >.

Solución. Tenemos

S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1; x1; x3; x4)|x1; x2; x3 ∈ R} =< (1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1) >

luego un sistema generador de S es {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)}. Ahora,

(0;0;0;0) = α (1;1;0;0) + β (0;0;1;0) +  α= β=o sea que es libre, resulta que B S = {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)} es una base de S.

Un sistema generador de T es (1;1;2;1);(2;3; −1;1). Pero es también libre, ya que (0;0;0;0) = 









y la única solución al sistema anterior es , Por tanto, BT = {(1;1;2;1);(2;3; −1;1)} es una base de T.

4.3 Combinación lineal, independencia lineal

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector au+ bv se dice que es una combinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

V= a1V1 + a2V2 …+ anVn

Ejemplo:

Sean x= (1,2) , y= (3,-1); halla el vector que sea la combinación lineal de Z= 2X + 3Y

Z=2(1,2) + 3(3,-1)= (2,4) + (9,-3)= (11,1)

Independencia lineal:

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal, de no ser linealmente dependientes entonces son linealmente independientes.

Varios vectores libres son

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