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Ley de GaussDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Para el Teorema de Gauss, véase Teorema de la divergencia.

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada por esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.

Contenido [ocultar]

1 Flujo del campo eléctrico

1.1 Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme

1.2 Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior

2 Deducciones

2.1 Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb

3 Forma diferencial e integral de la Ley de Gauss

3.1 Forma diferencial de la ley de Gauss

3.2 Forma integral de la ley de Gauss

4 Interpretación

5 Aplicaciones

5.1 Distribución lineal de carga

5.2 Distribución esférica de carga

6 Ley de Gauss

7 Analogía gravitacional

8 Véase también

9 Referencias

10 Enlaces externos

[editar] Flujo del campo eléctricoArtículo principal: Flujo eléctrico

Flujo eléctrico a través de una superficie elipsoidal.El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.

Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es perpendicular a la superficie y hacia afuera.

En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.

y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.

El flujo, entonces, se define como sigue:

(1)

O sea:

(2)

[editar] Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme

Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura:

El flujo ΦE puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

(3)

Para la tapa izquierda, el ángulo θ, para todos los puntos, es de π, E tiene un valor constante y los vectores dS son todos paralelos.

Entonces:

(4)

siendo S = πR2el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

(5)

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

(6)

Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

(7)

[editar] Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior

Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.

En consecuencia:

(8)

[editar] Deducciones[editar] Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de CoulombEste teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.

El ángulo sólido ΔΩ que es subtendido por ΔA sobre una superficie esférica, se define como:

siendo r el radio de la esfera.

como el área total de la esfera es 4πr2 el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)

Si el área ΔA no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a ΔΩ, se busca la proyección normal, que es:

Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera ΔΩ

...