Algebra Boleana Introduccion

Una álgebra de Boole es una tripleta (\mathfrak{B},+,\cdot). Donde \mathfrak{B}\neq\phi, + y \cdot son operaciones internas en \mathfrak{B} y además para cualquier x,y,z\in\mathfrak{B} se cumplen los siguientes axiomas:

1. Propiedad conmutativa:

x + y = y + x \;

x \cdot y = y \cdot x

2. Propiedad asociativa:

x + (y + z) = (x + y) + z \;

x \cdot(y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z \;

3. Propiedad distributiva:

x + (y \cdot z) = (x + y) \cdot (x + z)

x \cdot( y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)

4. Propiedad de los neutros. Existen 0,1\in\mathfrak{B} tales que:

x + 0 = x \;

x \cdot 1 = x \;

5. Propiedad de los opuestos. Existe \overline{x}\in\mathfrak{B} tal que:

x \, \overline{x} x + \overline{x}

0 1 1

1 0 1

x + \overline{x} = 1

x \, \overline{x} x \cdot \overline{x}

0 1 0

1 0 0

x \cdot \overline{x} = 0

[editar] Como retículo

Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:

1. Ley de Idempotencia:

a \cdot a = a \,

a + a = a \,

2. Ley de Asociatividad:

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\,

a + (b + c) = (a + b ) + c \,

3. Ley de Conmutatividad:

a \cdot b = b \cdot a \,

a + b = b + a \,

4. Ley de Cancelativo

(a \cdot b) + a = a \,

(a + b) \cdot a = a \,

[editar] Operaciones

Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

[editar] Operación suma

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

a + b = c \,

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Interruptor lógico 070.svg

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Interruptor lógico 071.svg Interruptor lógico 072.svg Interruptor lógico 073.svg Interruptor lógico 074.svg

[editar] Operación producto

a b a \cdot b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

La operación producto ( \cdot ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

a \cdot b = c

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