Álgebra de Boole

Álgebra de Boole

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

•

Definición

El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:

Como retículo

El álgebra de Boole es un retículo (A, 0,1, , +), donde el conjunto A = {0,1}, este conjunto está formado solo por dos elementos el 0, y 1, y el 0 antecede o es menos que el 1:

Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:

1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo

Como anillo

El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Anillo:

Grupo abeliano respecto a (+)

El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+):

1. (+) es una operación interna en A:

2. Es asociativa:

3. Tiene elemento neutro

4. Tiene elemento simétrico:

5. es conmutativa:

Grupo abeliano respecto a (•)

El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a ( ):

6. ( ) es una operación interna en A:

7. Es asociativa:

8. Tiene elemento neutro

9. Tiene elemento simétrico:

10. es conmutativa:

Distributivo

El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+) y ( ) y es distributiva:

11. La operación (+) es distributiva respecto a ( ):

12. La operación ( ) es distributiva respecto a (+):

Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ( ).

Operaciones

Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación producto

a b a b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación

a

0 1

1 0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

Operaciones combinadas

a b

0 0 1

0 1 1

1 0 0

...