Electricidad

Índice

Introducción -------------------------------------------------------------------------- 03

Marco Teórico ------------------------------------------------------------------------ 04

Dieléctricos ---------------------------------------------------------------------------- 05

Comportamiento en un campo electrostático --------------------------------------- 06

Vector de polarización eléctrica -------------------------------------------------------- 07

Susceptibilidad eléctrica ----------------------------------------------------------------- 09

Permitibilidad absoluta y relativa ------------------------------------------------------ 09

Generalización de La ley de Gauss ------------------------------------------------------ 11

Vector de desplazamiento eléctrico ---------------------------------------------------- 13

Condiciones de frontera para E Y D ----------------------------------------------------- 14

Efecto sobre la capacidad de un capacitor --------------------------------------------- 15

Anexos. Problemas Resueltos --------------------------------------------------------- 16

Experimento de Faraday con dieléctricos-------------------------------------------------19

Conclusiones ------------------------------------------------------------------------------ 20

Referencias bibliográficas -------------------------------------------------------------- 21

Introducción

En el presente trabajo investigativo, se da a conocer la temática de los dieléctricos, en un campo electrostático donde los medios dieléctricos, o aislantes, no son portadores de carga libres, capaces de desplazarse a través del medio bajo la influencia de campos eléctricos, también se tratara acerca del vector de polarización y el de desplazamiento eléctrico y sobre la ley de Gauss.

Un dieléctrico o aislante es caracterizado por presentar un volumen sin cargas libres. En estos materiales los electrones permanecen ligados a los átomos o moléculas a los cuales ellos pertenecen. Podemos considerar dentro de estos materiales al vacío, al vidrio, la mica y ciertos plásticos cuyos enlaces químicos mantienen todos los electrones ligados a sus átomos.

El uso de los dieléctricos es muy amplio, en el caso de los capacitores dichos materiales son utilizados por ejemplo para mantener la separación física de las placas. Por otro lado, debido a que la ruptura dieléctrica de mucho de ellos es mucho menor que la del aire, permiten reducir al mínimo la fuga de carga, especialmente cuando se le aplica altos voltajes. Permitiendo de este modo una mayor acumulación de carga en las placas del capacitor

Marco Teórico

Cuando Faraday “descubrió” el comportamiento de los materiales dieléctricos al colocarlos entre las placas de un capacitor, no se conocía el modelo atómico como una agrupación de electrones y protones (el electrón se descubrió en 1897). La teoría atómica en ese entonces provenía de la Química (modelo de Dalton) donde cada átomo era una esfera maciza indivisible.

El resultado experimental de Faraday era que la diferencia de potencial entre las placas disminuía al introducir el dieléctrico entre placas cargadas y aisladas entre sí, con lo que la capacidad debía aumentar (por su definición). Pero si el voltaje (diferencia de potencial) era menor, como. ∆v=∫_(r_1)^(r_2)▒E ⃗ (dl) ⃗, el campo eléctrico tenía que haber disminuido aunque la carga sobre las placas no había cambiado.

Este comportamiento se explica gracias a la ley de Gauss, ya que sabemos que el flujo del campo eléctrico está directamente relacionado con la carga encerrada. Como el campo se reduce, la carga encerrada en el volumen ¡¡debe ser menor!! . Es decir, el fenómeno se puede explicar considerando que se induce una cierta cantidad de carga en la superficie intersección entre el conductor y el dieléctrico. Se dice que existe una carga inducida o carga de polarización, cuya densidad superficial está notada como σp. En el capacitor de placas plano-paralelas aislado (es decir se mantiene la carga constante con densidad superficial σL).

Dieléctricos

Un dieléctrico es un material no conductor, como el caucho el vidrio o el papel encerado, cuando un material dieléctrico se inserta entre las placas de un capacitor aumenta la capacitancia. Si el dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en un factor adimensional k. conocido como constante dieléctrica. La constante dieléctrica es una propiedad del material y varía de un material a otro.

Para cualquier separación dada d, el máximo voltaje que puede aplicarse a un capacitor sin producir una descarga depende de su resistencia dieléctrica (campo eléctrico máximo) del dieléctrico. Si la magnitud del campo eléctrico en el dieléctrico superara a la resistencia dieléctrica, las propiedades aislantes se deterioran y el dieléctrico empieza a conducir. Los materiales aislantes tienen valores de k más grandes que la unidad y resistencias dieléctricas mayores que las del aire, de este modo, se ve que un dieléctrico brinda las siguientes ventajas:

Aumenta la capacitancia.

Aumenta el voltaje de operación máximo.

Posible soporte mecánico entre las placas, lo cual permite que las placas estén muy juntas sin tocarse, de este modo d disminuye y C aumenta.

La resistencia dieléctrica es igual al campo eléctrico máximo que puede existir en un dieléctrico sin ruptura eléctrica.

Materiales dieléctricos en campos eléctricos

Materiales con n < 109 electrones libres por cm3 son materiales no conductores llamados aislantes o dieléctricos. (Compare: Cobre 8,5x1022e/cm3)

Los materiales dieléctricos son permeables con campo eléctrico, e.d. no bloquean el CE. Éste los puede atravesar sin dificultad alguna. Los modelos que se presentan a continuación describen el comportamiento diferenciado de materiales dieléctricos sometidos a un campo eléctrico.

Comportamiento de un dieléctrico en un campo electrostático

Los medios dieléctricos, o aislantes, no poseen portadores de carga libres, capaces de desplazarse a través del medio bajo la influencia de campos eléctricos; sin embargo, las moléculas que forman su estructura pueden sufrir cambios en su orientación o pequeños desplazamientos. A este efecto se le denomina polarización del material. Un medio dieléctrico polarizado crea a su vez un campo eléctrico que se superpone al campo excitador, dando lugar a un campo final en el equilibrio diferente al que ocuparía el espacio si no hubiese dieléctrico.

El estudio de los fenómenos electrostáticos en medios dieléctricos se realiza a partir de modelos microscópicos en los que se asume la existencia de dipolos ideales como los elementos constitutivos del material. Estos dipolos simulan el estado de polarización atómica o molecular.

Existen básicamente dos tipos de medios dieléctricos: los dieléctricos polares, constituidos por moléculas orientadas eléctricamente, y los dieléctricos no polares, en los que las moléculas tienen un momento dipolar nulo cuando sobre ellas no actúan campos externos. Los primeros no presentarán usualmente un efecto macroscópico neto de forma espontánea, porque el estado de mínima energía coincide con aquel en que las orientaciones de los dipolos elementales son arbitrarias, y el efecto global se cancela. La presencia de un campo exterior es lo que provoca una orientación preferente de los dipolos en la dirección del campo, y un efecto macroscópico medible. En el caso de los dieléctricos no polares, un campo exterior puede todavía producir un desequilibrio microscópico de las cargas, con lo que provoca simultáneamente la creación y la orientación de los dipolos, con efectos netos apreciables. Es claro, sin embargo, que existirán moléculas o cristales elementales cuyo comportamiento eléctrico deba caracterizarse más cuidadosamente, por ejemplo con la inclusión de cuadripolos elementales.

En teoría de campos es interesante el estudio de los efectos macroscópicos. De hecho, el modelo atómico, por su naturaleza discreta, es el modelo opuesto a la teoría de campos clásica que, por definición, sólo trata con medios continuos. Por esto un átomo, una molécula, un portador de carga, o un grupo pequeño de ellos, no tienen una consideración particular. Es más, ni siquiera se consideran, puesto que no son capaces de producir efectos apreciables a escala macroscópica.

Cuando tomamos un diferencial de volumen o de superficie en un material dieléctrico se asume que el número de dipolos elementales contenidos en él es muy elevado. Las consideraciones que se hacen referentes al modelo atómico son las necesarias para construir un modelo útil y realista, que proporcione resultados válidos macroscópicamente.

La consecuencia de lo anterior es que sólo se con valores medios de campo, o de potencial, existentes en los diferentes puntos del medio material, pero que desde luego no coinciden con los valores del campo microscópico o campo local que pueda haber en dichos puntos. Es, por otra parte, el campo medio, o campo a escala macroscópica, el que tiene interés, pues el campo local será una función complicada de la posición.

Vector de polarización eléctrica

Se utiliza un condensador de placas paralelas, que tienen una carga fija “q”, produce un campo eléctrico uniforme E ⃗_0 en el cual colocamos una placa dieléctrica.

Un diferencial de volumen en un medio dieléctrico polar. En su interior existen numerosos dipolos elementales (microscópicos) con orientaciones arbitrarias. La suma de todos los momentos dipolares microscópicos es un diferencial de momento dipolar. (dp) ⃗= ∑_i▒p ⃗_i

Cuando el medio está inmerso en el seno de un campo eléctrico, los dipolos elementales se orientan en la dirección del campo. La inspección del momento dipolar diferencial de los diferenciales de volumen nos da información de la presencia y del valor del campo eléctrico total que está actuando sobre el material. Se define el vector polarización como la densidad de momento dipolar por unidad de volumen.

p ⃗_((r)) ⃗ =d_p ⃗ /d_v C⁄m^2

Esta magnitud define completamente el estado de polarización del medio, en la misma medida que el momento dipolar es una caracterización completa de un dipolo elemental. Es un campo vectorial definido en todo el volumen del dieléctrico, que tomará habitualmente diferentes valores en los diferentes puntos del material, ya que el estado de polarización no tiene por qué ser uniforme.

El dieléctrico polarizado contribuye al campo total por efecto de la orientación mayoritaria de los dipolos elementales. La contribución del dieléctrico se puede obtener mediante el vector polarización.

dϕ(r ⃗ )= 1/(4πϵ_0 ) (dp ⃗. (r ⃗-(r´) ⃗ ))/|r ⃗-(r´) ⃗ |³ dv´ = 1/(4πϵ_0 ) (p ⃗((r´) ⃗ )dv´ (r ⃗-(r´) ⃗ ))/|r ⃗-(r´) ⃗ |³

De donde resulta:

ϕ(r ⃗ )= 1/(4πε_0 ) ∫_(v´)^i▒(p ⃗((r´) ⃗ ).(r ⃗-(r´) ⃗ ))/|r ⃗-(r´) ⃗ |³ dv´

Obsérvese que el potencial dado por la ecuación no es el potencial presente en el espacio, sino únicamente la contribución del dieléctrico, del mismo modo que el campo eléctrico que se deduzca de éste no será el campo total presente, sino una parte de él. Conviene resaltar que en el equilibrio el dieléctrico está también, en cierta medida, auto polarizado, y unas zonas del medio influyen en las restantes para dar lugar a la polarización final, pero todo ello está incluido en el vector p ⃗(r ⃗ ).

El vector polarización macroscópica medio P ⃗ se define como el momento dipolar medio por unidad de volumen de dieléctrico.

Entonces el vector polarización o simplemente polarización en cualquier punto dentro del dieléctrico es

P^r= lim┬(∆v→0)⁡〖(∆p/∆v)^r= dP/dV〗

El estado de polarización de un dieléctrico está determinado por el vector polarización. Sin embargo, este vector no es usualmente un dato conocido desde el principio, por lo que se debe desarrollar con más profundidad la teoría para poder realizar problemas reales. Con este objetivo se introduce la consideración explícita de las densidades de carga propias del dieléctrico, esto es, las que constituyen los dipolos inducidos en el material, que se denominan densidades de carga ligada. El trabajar con estas densidades de carga no reporta beneficios, usualmente, en problemas prácticos, porque, como veremos más adelante, se han desarrollado herramientas más directas y poderosas, pero sirven para cimentar la teoría en que se basan esos otros métodos.

Una porción de dieléctrico puede considerarse constituida por un continuo de dipolos elementales.

Susceptibilidad eléctrica

El grado de polarización de un dieléctrico en un campo externo depende, no sólo del campo externo, sino también de las propiedades de las moléculas que forman el material.

El comportamiento del material se especifica por la ecuación constitutiva

P´=P´ ( E´ )

Para la mayoría de los materiales P´ se anula cuando E´ se anula.

Pero cuando existe un campo eléctrico en un dieléctrico, las cargas de sus moléculas sufren fuerzas. Si el dieléctrico es polar, estas fuerzas tienden a orientar los dipolos de sus moléculas en la dirección del campo, es decir, a poner paralelos los momentos dipolares con el campo).También tienden a aumentar la separación de las cargas positivas de las negativas, que equivale a aumentar sus momentos dipolares. Si el dieléctrico es apolar, el campo tiende a separar las cargas y a originar en cada molécula un momento dipolar no nulo En muchos dieléctricos solo así se consigue una polarización no nula: por aplicación de un campo eléctrico. Y en muchos de ellos, llamados dieléctricos isótropos, esa polarización tiene siempre la dirección y sentido del campo eléctrico en cada punto. En esos casos la relación entre la polarización y el campo eléctrico en cada punto se expresa así:

P= ε_0 χE

Donde χ se llama susceptibilidad eléctrica del material, es número real positivo adimensional. Cuanto mayor sea χ mayor polarización se consigue con el mismo campo eléctrico. Por tanto χ es una característica de cada dieléctrico isótropo, y mide lo susceptible que es de ser polarizado. χ=0 Significa que el dieléctrico es impolarizable, pues no hay moléculas que polarizar. Si χ no depende del módulo del campo eléctrico se dice del dieléctrico que es lineal. En caso contrario se dice que es no lineal. Muchos materiales útiles se comportan aproximadamente como dieléctricos isótropos.

Permitibilidad absoluta y relativa

La Permitibilidad (o impropiamente constante dieléctrica) es una constante física que describe cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. La Permitibilidad del vacío es 8,8541878176 x 〖10〗^(-12) F/m.

La Permitibilidad es determinada por la habilidad de un material de polarizarse en respuesta a un campo eléctrico aplicado y, de esa forma, cancelar parcialmente el campo dentro del material. Está directamente relacionada con la susceptibilidad eléctrica. Por ejemplo, en un condensador una alta Permitibilidad hace que la misma cantidad de carga eléctrica sea guardada con un campo eléctrico menor y, por ende, a un potencial menor, llevando a una mayor capacitancia del mismo.

La constante dieléctrica o Permitibilidad relativa de un medio continuo es una propiedad macroscópica de un medio dieléctrico relacionado con la Permitibilidad eléctrica del medio.

En relación la rapidez de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico es:

v= C/(( k .km )^0.5 )

Donde k es la constante dieléctrica y km es la Permitibilidad relativa. El nombre proviene de los materiales dieléctricos, que son materiales aislantes o muy poco conductores por debajo de una cierta tensión eléctrica llamada tensión de rotura. El efecto de la constante dieléctrica se manifiesta en la capacidad total de un condensador eléctrico o capacitor. Cuando entre los conductores cargados o paredes que lo forman se inserta un material dieléctrico diferente del aire (cuya Permitibilidad es prácticamente la del vacío) la capacidad de almacenamiento de la carga del condensador aumenta. De hecho la relación entre la capacidad inicial C_i y la final C_f vienen dadas por la constante eléctrica:

k= C_f/C_i = ε/ε_0 = ε_r=( 1+ χ_(e ) )

Donde ε es la Permitibilidad eléctrica del dieléctrico que se inserta.

Además el valor de la constante dieléctrica K de un material define el grado de polarización eléctrica de la substancia cuando esta se somete a un campo eléctrico exterior. El valor de K es afectado por muchos factores, como el peso molecular, la forma de la molécula, la dirección de sus enlaces (geometría de la molécula) o el tipo de interacciones que presente.

La Permitibilidad de un material es usualmente dada como relación a la del vacío, denominándose Permitibilidad relativa, (también llamada constante dieléctrica en algunos casos). La Permitibilidad absoluta se calcula multiplicando la Permitibilidad relativa por la del vacío:

Donde es la susceptibilidad eléctrica del material. En la siguiente tabla se muestran la Permitibilidad absoluta de algunos dieléctricos:

Material (pF/m)

Material (pF/m)

Aceite mineral

19,5 Caucho

de 20 a 50

Acetona

191 Madera

de 10 a 60

Aire

8,84 Papel duro

49,5

Agua destilada

81 PVC

de 30 a 40

Baquelita

de 50 a 80 Vidrio

de 40 a 60

La Permitibilidad del vacío es el cociente de los campos D/E en ese medio. También aparece en la ley de Coulomb como parte de la constante de fuerza de Coulomb, , que expresa la atracción entre dos cargas unitarias en el vacío.

Donde c es la velocidad de la luz y μ0 es la permeabilidad magnética del vacío. Estas tres constantes están totalmente definidas en unidades del SI.

Generalización de La ley de Gauss

Una vez establecida la equivalencia entre un dieléctrico o distribución de dipolos y una distribución de carga, pueden aplicarse al dieléctrico las propiedades ya conocidas. Solo hay que recordar que la densidad de carga en cada punto de un dieléctrico o de una distribución de dipolos puntuales debe incluir, además de otras posibles, la carga de polarización. Entonces, si el campo E en cada punto de un dieléctrico está creado solo por cargas eléctricas, incluidas las de polarización, la ley de Gauss para cada punto de un dieléctrico se escribe

∇.E= p_t/ε_0 =(p+ p_p)/ε_0 = (p- ∇.P )/ε_0

Donde p_p es la densidad volumétrica da carga de polarización y

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