Logíca aplicada a sistemas informaticos

Lógica

Aplicada a Sistemas Informáticos:

Conjuntos, Sistemas Numéricos y Álgebra de Boole

Nombre del Estudiante: [Tu nombre]

Docente: [Nombre del profesor]

Fecha: Julio de 2025

ÍNDICE

1. Introducción

2. Determinación de un conjunto por extensión y comprensión

3. Conjuntos numéricos, conjunto universal y conjunto vacío

4. Cardinal de un conjunto finito

5. Inclusión, igualdad e inclusión propia de conjunto (propiedades)

6. Operaciones con conjuntos y sus propiedades

7. Sistemas numéricos y sus conversiones

8. Álgebra de Boole y sus teoremas

9. Diagramas de Venn

10. Conclusiones

11. Resumen general

12. Bibliografía

Introducción

La lógica y el manejo de conjuntos constituyen la base formal sobre la cual se construyen los sistemas informáticos. El objetivo de este trabajo es introducir de manera clara y progresiva los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, sistemas numéricos y álgebra de Boole, todos esenciales para el diseño, análisis y optimización de algoritmos y estructuras computacionales.

1. Determinación de un conjunto por extensión y comprensión

- Por extensión: Se  especifican  todos  los  elementos  del  conjunto.  Ejemplo:  A = {2, 4, 6, 8}
- Por comprensión: Se indica una propiedad que cumplen los elementos. Ejemplo: A = {x ∈ ℕ | x es par y menor que 10}

2. Conjuntos numéricos, conjunto universal y conjunto vacío

- Conjuntos numéricos: ℕ (naturales), ℤ (enteros), ℚ (racionales), ℝ (reales), ℂ (complejos).
- Conjunto universal (U): Conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro de un contexto.
- Conjunto vacío (∅): No contiene elementos. Es subconjunto de todo conjunto.

3. Cardinal de un conjunto finito

Es la cantidad de elementos que posee un conjunto finito. Ejemplo: Si B = {a, b, c}, entonces |B| = 3.

4. Inclusión, igualdad e inclusión propia de conjunto (propiedades)

- A ⊆ B: Todos los elementos de A están en B (inclusión).
- A = B: Si A ⊆ B y B ⊆ A (igualdad).
- A ⊂ B: A es subconjunto propio de B si A ⊆ B pero A ≠ B.
Propiedades básicas: A ⊆ A, ∅ ⊆ A, Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.

5. Operaciones con conjuntos y sus propiedades

- Unión (A ∪ B): Elementos en A o B o ambos.
- Intersección (A ∩ B): Elementos en A y B.
- Diferencia (A – B): Elementos en A que no están en B.
- Diferencia simétrica (A Δ B): Elementos en A o B, pero no en ambos.
- Complemento (Aᶜ): Elementos que no están en A, dentro del universo U.
Propiedades: A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∪ Aᶜ = U, A ∩ Aᶜ = ∅.

6. Sistemas numéricos y sus conversiones

- Definición: Un sistema numérico es un conjunto de símbolos y reglas para representar números.
- Sistemas comunes: Binario (base 2), Decimal (base 10), Octal (base 8), Hexadecimal (base 16).
- Conversión: Decimal a binario: División sucesiva entre 2. Binario a decimal: Suma de potencias de 2.
- Operaciones: Suma binaria, multiplicación, resta y división.

7. Álgebra de Boole y sus teoremas

- Definición: Estructura matemática que manipula valores binarios (0 y 1) mediante operadores lógicos.
- Operadores: AND (·), OR (+), NOT (¬).
- Postulados: A + 0 = A, A + 1 = 1, A · 1 = A, A · 0 = 0, A + A = A, A · A = A, A + A' = 1, A · A' = 0.
- Relación con conjuntos: Unión ↔ OR, Intersección ↔ AND, Complemento ↔ NOT.

8. Diagramas de Venn

Representación gráfica de conjuntos y sus operaciones. Se usan círculos dentro de un rectángulo (U), se intersectan, se complementan y permiten visualizar la relación entre subconjuntos. Utilizados para resolver problemas lógicos, mostrar relaciones entre más de un conjunto, y visualizar el álgebra de Boole gráficamente.

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