Calculo.

El siguiente cuadrado, de color blanco, resulta de unir el centro de cada lado del exterior azul y así sucesivamente.

Encuentre los cinco primeros términos de la sucesión que forma los lados de la figura.

a1=1

a2=〖√((1/2)^2 )〗^ +(1/2)^2=√(2(1/2)^2=√2/√(2 √2) )=1/√2

a3=√((1/(2.√2))^2+(1/(2√2))^2 )=√(2(1/(2√2))^2 )=√2/(2√2)=1/2

a4=√((1/2.2)^2+〖1/2.2〗^2 )=√(2(1/2.2)^2 )=√2/(2√(2.√2) )=1/(2√2)

A5= 1/4

Cn={1,1/√2,1/2,1/(2√2),1/4…….}

an=1/2^((n.1)/2) ,n≥1

Usando los conceptos y fórmulas de las progresiones halle, en centímetros, la suma de los lados de los diez primeros cuadrados.

∑_(n=1)^10▒〖1/2^((n.1)/2) =∑_(n=1)^10▒1/√(2^(n-1) )=√2 ∑_(n=1)^10▒〖1/〖√2〗^n =√2 (1/√2+(1/√2)^2…..+(2/√2)^10 ) 〗〗=

√2/√2 (1+1/√2)+(1/√2)^2+⋯+(1/√2)^9)

Dada la identidad 1+r+r^2+⋯=(1-r^n)/(1-r) tenemos

∑_(n=1)^10▒1/2^((n.1)/2) =(1-(1/√2)^10)/(1-1/√2)=((2^5-1)/2^5 )/((√2-1)/√2)=(√2 (2^5-1))/(2^5 (√2-1) )≈3,30751938

Si quisiéramos hallar el perímetro de los 10 primeros cuadrados multiplicamos por 4 el valor hallado así:

p=(2^2.√2 (2^5-1))/(2^5 (√2-1) )=(√2 (2^5-1))/(2^3 (√2-1) )≈13,2300776

Hallé el termino general de la sucesión

c_n={2, 2√2, 4, 4 √(2,)┤ 8,………├ .}

cn={2,2√2,4,4√2,8,… }

={2^(2⁄2),2^(3⁄2),2^(4⁄2),2^(5⁄2),2^6,…}

=an=2^((n+1)/2),n≥1

El siguiente cuadrado, de color blanco, resulta de unir el centro de cada lado del exterior azul y así sucesivamente.

Encuentre los cinco primeros términos de la sucesión que forma los lados de la figura.

a1=1

a2=〖√((1/2)^2 )〗^ +(1/2)^2=√(2(1/2)^2=√2/√(2 √2)

...