Derivacion

¿Qué es la derivada?

La derivada de una función con respecto a la variable independiente es la razón de cambio instantáneo de la función con respecto a la variable independiente. En otras palabras, la derivada es el límite del cociente de los incrementos de la función y la variable independiente cuando el incremento de la variable tiende a cero.

En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de “y” con respecto a “x” es:

dy y

y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim

dx!x x

Hay diferentes notaciones para denotar la derivada de “y” con respecto a “x” se ha encontrado que:

dy Lim f(x +x) - f(x)

=

dx x!0

La derivada así definida es una medida de variación instantánea de la variable dependiente “y” con respecto a la variable independiente “x”.

SIGNO DE LA DERIVADA

Se dice que una función se incrementa en un conjunto A si, para cualquier uy v en A, u< v implica  (u) < (v). En forma similar, se decrementa en un conjunto A si, para cualquier u y v en A, u<v implica  (u) > (v). Por supuesto, en un conjunto dado, una función no tiene que incrementarse o decrementarse, necesariamente.

Teorema 17.3:Si’ (x) > 0 para toda x en el intervalo abierto (a, b) entonces se incrementa sobre (a, b). Si’ (x) < 0 para toda x en (a, b) entonces se decrementa sobre (a, b).

Teorema 17.4: (teorema del valor intermedio) sea  una función continua sobre un intervalo cerrado (a, b), con (a) ≠ (b). Entonces cualquier número entre (a) y (b) se toma como el valor de c para algún argumento entre a y b.

Aunque el teorema 17.4 no es elemental, su contenido es intuitivamente obvio: la función no puede “saltar” un valor intermedio a menos que existe un vació en la gráfica; es decir, a menos que la función sea discontinua. Una función que satisface el teorema 17.4 también puede tomar valores que no están entre (a) y (b).

Teorema de rolle: teorema que es fundamental en el desarrollo teórico del cálculo infinitesimal. Sea y= (x) una función uniforme de x, continuaen todo el intervalo [a, b] y que se anula en los extremos del intervalo, es decir, (a) = 0, (b) = 0. Supongamos también que (x) tiene una derivada’(x) en cada punto interior (a < x <b) del intervalo. Entonces la función se representara gráficamente por una curva continua.

La intuición geométrica nos dice inmediatamente que existe por lo menos un valor de x, comprendido entre a y b, en el que la tangente es paralela al eje de las x (como en P); es decir, la pendiente en este punto es cero.

Si (x) es continua en el intervalo [a, b] y se anula en sus extremos, y tiene una derivada’(x) en todo punto interior del intervalo, entonces existe por lo menos un valor de x, comprendido entre a y b, en el que’(x) es igual a cero. La demostración es sencilla. En efecto,  (x) tiene que ser positiva o negativa en algunas partes del intervalo, salvo el caso de anulares en todos los puntos (pero en este caso el teorema es evidentemente cierto). Si suponemos que (x) es positiva en una parte del intervalo entonces (x) tendrá un valor máximo en algún punto dentro.

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