Derivacion Tipica

Actividad 2. Aplicación de los axiomas de números reales

Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales

Dado , donde y , demuestre que .

Lo mejor es usar z < 0 que implica que - z > 0 y el axioma 4° de orden

¨si 0 < z y x < y entonces xz < yz ¨

Por hipótesis z < 0 implica, por teorema si x < y - x y que – 0 = 0 queda

- z > o ……(1)

Por hipótesis x < y implica por … (1) y el 4° axioma de orden ¨si 0 < z y x < y entonces xz < y queda x(-z) < y(-z) implica

Por teorema ∀ x, y ϵ R x (-y) ¬= - (xy) queda – (xz) <- ( yz) entonces

Por hipótesis si x < y - y < - x queda finalmente

= Xz > yz

Demuestre que para cualesquiera tales que y entonces .

Significa que la expresión 0 < x < y significa que 0 < x y x < y

También como y > 0 y x < w , yx < yw

Según el axioma de orden si x < y y 0 < z xz < yz

Demuestre por inducción matemáticas que dados tales que demostrar que para cualesquiera .

La expresión 0 < x < y significa que 0 < x ↔ x > 0 y x > y

Para n = 1

Por hipótesis se cumple para n = 1

Supongamos que la desigualdad cumple para n = k

x^k < y^k …(1)

Probemos que aquí la desigualdad se cumple para n= k+1, es

Decir a lo que tenemos que llegar

x^(k+1) < y^(k+1)…(2)

Entonces para poder llegar a la expresión …(2)

Primero consideramos la expresión …(1) ahí multiplicamos esta expresión de

Desigualdad (1) por x > 0

Obtenemos x^k (x) < (x) y^k x^(k+1) < 〖xy〗^k….(3)

Pero ahora que debido a considerar que x < y con y > 0 queda

y^k(x) < y^k(y) y^kx < y^(k+1)…(4)

Considerando (3) y (4) se llega a lo que es

= x^(k+1) < y^(k+1)

Por lo cual se cumple en todo n ϵ N

Resolver la ecuación .

Igualando a cero la ecuación x - 1 – [ x ] + [2x-5] – 0

Despejando –[x] y todos los demás elements en el lado derecho es decir:

-[x] = 1- x- [ 2x-5 ]

Ahora tomando la expresión del lado izquierdo y definiéndola por medio del valor absoluto

Se crean 2 casos

1° caso x-x -1 + [ 2x-5]

Igualando a cero esta ecuación queda:

x-x +1 – [ 2x-5 ] = 0 1- [ 2x-5 ] = 0

quitando el signo negativo a la ecuación:

[2x-5] = 1

Ahora definiendo este valor absoluto y se dan 2 subcasos del primer caso

1° Subcaso del 1° caso

2x-5 =1 2x= 6 x= 3

2° subcaso del 1° caso

2x-5= -1 2x= 4 x = 2

2° caso x= 1 – x – [ 2x – 5 ]

Igualando a cero esta acuacion queda

x + x – 1 + [ 2x-5 ] = 0 2x - 1 + [2x-5 ] = 0

Pensando el lado izquierdo con signo contrario al lado derecho

[2x-5] = 1- 2x

Ahora definiendo este valor absoluto y se dan 2 subcasos del segundo caso

1° subcaso del 2° caso

2x-5 = 1-2 x 4x = 6 x = 3/2

2° subcaso del 2° caso

2x-5 = 2x-1 0 = 4 esto es falso, este subacso de elimino

Ahora para finalizar y saber las soluciones de esta ecuacion se comprueban

En la ecuacion original las tres soluciones mencionadas y si cumplen la igualdad

Es la solución de esta ecuacion.

Entonces: si x + [ 2x-5 ] = 1 + [x] para x = 3

X + [ 2x-5] = 1+ [x] 4 = 4 entonces es la solución

Para x = 2

x + [2x-5] = 1 + [x] 3 = 3 entonces es la solución

Para x = 3/2

x + [ 2x-5 ] = 1 + [x] 7/2 = 3/2 es falso entonces es

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