Desigaldades

Desigualdades Cuadra´ticas y Racionales MATE 3011

Material Suplementario Para el Curso M´etodos Cuantitativos 1

Este suplemento tiene el propo´sito de mostrar como resolver desigualdades que contienen una ex- presio´n cuadr´atica o una expresio´n racional. Los m´etodos que presentaremos difieren de los desa- rrollados para resolver desigualdades lineales y desigualdades con valor absoluto. Como parte del proceso de resolver la desigualdad cuadra´tica la rearreglaremos para que un lado sea igual a cero. Luego factorizaremos la expresio´n cuadr´atica que se obtiene.

Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad x2 + x − 2 > 0.

SOLUCI ´ON. Comenzamos factorizando la expresio´n cuadra´tica pues uno de los lados es igual a cero. x2 + x − 2 > 0

(x + 2)(x − 1) > 0

Ahora resolvemos la ecuacio´n (x + 2)(x − 1) = 0. Tenemos que

x + 2 = 0 o x − 1 = 0.

Obtenemos que x = −2 o x = 1. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos: (−∞,−2), (−2,1), (1,∞). Sabemos que x = −2 y en x = 1 satisfacen la ecuaci´on x2 + x − 2 = 0. Deseamos determinar el signo de la espresio´n x2 + x − 2 en los intervalos (−∞,−2), (−2,1), (1,∞). Para esto determinamos el signo de cada uno de los factores usando un valor de x en cada uno de los intervalos. Este valor particular de x se conoce como valor prueba. Por ejemplo, para determinar el signo del factor x − 2 en el intervalo (−∞,−2) escogemos un valor de x que este en este intervalo, digamos x = −3 y lo subustituimos en x − 2. Obtenemos x − 2 = −3 − 2 = −5. Luego x − 2 es negativo en el intervalo (−∞,−2). Por otro lado x − 1 = −3 − 1 = −4 por lo que x − 1 es negativo en el intervalo (−∞,−2). Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos. Construimos una tabla, llamada una tabla de signos, para organizar la informacio´n obtenida:

Intervalos (−∞,−2) (−2,1) (1,∞)

Signo de x + 2 − + +

Signo de x − 1 − − +

Signo de (x + 2)(x − 1) + − +

El signo de (x + 2)(x − 1) se obtiene multiplicando el signo de x − 2 con el signo de x + 1. Nos interesa saber donde (x + 2)(x − 1) > 0, es decir donde (x + 2)(x − 1) es positiva. Esto ocurre en (−∞,−2) o en (1,∞).

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Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad x2 ≤ 4x + 12.

SOLUCI ´ON. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresio´n resultante:

x2 ≤ 4x + 12 x2 − 4x − 12 ≤ 0 (x + 2)(x − 6) ≤ 0.

Resolvemos la ecuacio´n (x + 2)(x − 6) = 0. Obtenemos que x + 2 = 0 o x − 6 = 0. Luego x = −2 o x = 6. Ahora construimos una tabla de signos.

Intervalos (−∞,−2) (−2,6) (6,∞)

Signo de x + 2 − + +

Signo de x − 6 − − +

Signo de (x + 2)(x − 6) + − +

Buscamos todos los valores de x tales que (x + 2)(x − 6) ≤ 0. (x + 2)(x − 6) es menor que cero en el intervalo (−2,6) e igual a cero en x = −2 y en x = 6. Luego la solucio´n de la desigualdad es el intervalo [−2,6].

Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad x2 < 3x.

SOLUCI ´ON. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresio´n resultante:

x2 < 3x x2 − 3x < 0 x(x − 3) < 0.

Resolvemos la ecuaci´on x(x−3) = 0. Obtenemos que x = 0 o x−3 = 0 de donde se sigue que x = 0 o x = 3. Ahora construimos una tabla de signos.

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Intervalos (−∞,0) (0,3) (3,∞)

Signo de x − + +

Signo de x − 3 − − +

Signo de x(x − 3) + − +

Buscamos todos los valores de x tales que x(x − 3) < 0. Esto ocurre en (0,3).

Ejemplo 4. Resuelva la desigualdad 4x2 + 8x ≥ 5.

SOLUCI ´ON. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresio´n resultante:

4x2 + 8x ≥ 5 4x2 + 8x − 5 ≤ 0 (2x + 5)(2x − 1) ≤ 0.

Resolvemos la ecuaci´on (2x+5)(2x−1) = 0. Obtenemos que 2x+5 = 0 o 2x−1 = 0. Luego x = −5 2 o x = 1 2. Ahora construimos una tabla de signos.

Intervalos (−∞,−5 2) (−5 2, 1 2) (1 2,∞)

Signo de 2x + 5 − + +

Signo de 2x − 1 − − +

Signo de (2x + 5)(2x − 1) + − +

Buscamos todos los valores de x tales que (2x + 5)(2x − 1) ≥ 0. (2x + 5)(2x − 1) es mayor que cero en el intervalo (−∞,−5 2) e igual a cero en x = 1 2 y en x = −5 2. Luego la soluci´on de la desigualdad es −∞,−5 2  ∪ 1 2,∞
.

Ahora nos concentraremos en desigualdades racionales.

Ejemplo 5. Resuelva la desigualdad

x + 1 x − 1

> 0.

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SOLUCI ´ON. Primero determinemos donde el numerador es cero.

x + 1 = 0 x = −1

Segundo, determinemos donde el denominador es cero.

x − 1 = 0 x = 1

Utilizando estos nu´meros dividimos la recta real en tres intervalos:

(−∞,−1),(−1,1),(1,∞).

Ahora construimos una tabla de signos.

Intervalos (−∞,−1) (−1,1) (1,∞)

Signo de x + 1 − + +

Signo de x − 1 − − +

Signo

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