Determinantes

Se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Propiedades de los determinantes

1. Para cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante:

| A T | = | A |

2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de sus renglones (o columnas) por una constante distinta de cero, entonces | B |=k | A |.

3. Si B se obtiene de A intercambiando dos renglones (o columnas) cuales quiera | B | = - | A |

4. Si B se obtiene de A sumando un múltiplo de un renglón (o columna) a otro renglón (o columna), entonces | B |=| A |.

5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

6. Si A tiene un renglón (o columna) de ceros, entonces | A |= 0.

7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son iguales, entonces | A |= 0.

8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son múltiplos entre si, entonces | A |= 0.

9. Si A es cualquier matriz de n x n y k es cualquier escalar, entonces:

|k A | = kn | A |

10. El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores.

| AB | = | A | | B |

| A1 A2 …Am | = | A1 | | A2 |…| A3 |

MENORES Y COFACTORES.

Se llama menor del elemento aik de un determinante D de al determinante Mik de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.

Se llama cofactor del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo (-1)i+k y se denota Aik, esto es

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