Determinantes

Continuación de Unidad 2 (II CORTE)

DETERMINANTES

Introducción

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

El determinante Se representa det A ó A.

El determinante sólo se le calcula a matrices cuadradas n x n.

1.- DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN:

Se multiplica los elementos de la diagonal principal (que es la diagonal que parte del primer elemento de la primera fila hasta el último elemento de la última columna) y se le resta el elemento resultante del producto de la diagonal secundaria.

Dada la matriz cuadrada de orden dos,

Se llama determinante de A al número real

Ejemplo: |A| = = 3-(-8) = 11

2- DETERMINANTES DE TERCER ORDEN:

Dada una matriz cuadrada de orden tres, su determinante se calculará mediante la regla de Sarrus.

Método de Sarrus: Se repiten las dos primeras COLUMNAS al final de la matriz, se multiplican los elementos de la DIAGONAL PRINCIPAL y los de sus dos paralelas sumando cada multiplicación resultante, y al resultado anterior se le resta al elemento resultante de sumar cada multiplicación de la diagonal secundaria y de las dos paralelas a ésta.

Nota: Éste método se utiliza para matrices 3x3 y 4x4

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32- a12a21a33

Det(A)= a11a22a33+ a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33

OBSERVACIÓN: La diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +, la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo -

1-EJEMPLO: Calcular el determinante de la matriz A usando la regla de Sarrus.

2- Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz A usando la regla de Sarrus.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

Las propiedades que se enuncian son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden dos o tres.

1) Si multiplicamos una fila o una columna de una matriz cuadrada por un número real, el determinante queda multiplicado por dicho número.

2) El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir:

det A = det At

3) El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes.

4) Si permutamos dos filas (o dos columnas) entre sí, el determinante cambia de signo.

5) Si una matriz tiene una fila (o una columna) formada por ceros, su determinante es nulo.

6) Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) iguales, su determinante es cero.

7) Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) proporcionales, su determinante es cero.

Ejemplo:

= 0, pues las dos primeras filas son proporcionales.

8) Si una línea (fila o columna) es combinación lineal de otras, el determinante es cero.

Ejemplo:

= 0 , pues la 3ª columna es la suma de las dos primeras

9) Si a una fila (o a una columna) se le suma otra fila, multiplicada por un número, el determinante no varía.

Ejemplo:

A= ,a la columna 1ª se le suma la tercera por -2, queda: B= ,

= -1 + 12=-11, = -1-(12) =-11, son iguales.

10) Si una matriz cuadrada es triangular (superior o inferior) su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Consecuencia: Si I es la matriz identidad su determinante vale 1

MENOR Y ADJUNTO.

Dada una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento aij al determinante que resulta de suprimir en la matriz la fila

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