Eigenvalores

Introducción

En los dos temas previos de este bloque hemos visto c´omo problemas de la realidad son

escritos, tratados y resueltos a trav´es de espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones lineales.

En realidad, son muchas las ocasiones en que un problema complejo, en el que intervienen

varias variables, se acaba simplificando en su planteamiento para hacer factible su resoluci´on, aunque ´esta sea aproximada. El caso m´as simple consiste en linealizar el problema (los

sistemas de ecuaciones lineales diferenciales y en diferencias se ver´an en el pr´oximo tema),

y para ello, igual que para la resoluci´on m´as sencilla de un sistema de ecuaciones lineales,

el elemento principal de trabajo es la matriz: el manejo de operaciones reiteradas sobre una

matriz requiere simplicidad de la misma.

La representaci´on matricial de un problema lineal no es m´as que la definici´on de

una funci´on lineal de varias variables

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a trav´es de algunos de sus elementos (una base) y sus

valores correspondientes, ya que por la linealidad se podr´a conocer en (extender a) todo el

espacio vectorial. V

Eigenvectores y Eigenvalores

Sea A una matriz de n×n donde A es un operador lineal en los vectores de C^n

Ax=b

donde x y b son vectores de n×1 (Figura 1).

(a)

(b)

Figura 1: Ilustración de un sistema lineal y vectores

DEFINICIÓN 1: Eigenvector

Un eigenvector de A es un vector v∈C^n tal que

Av=λv

(2)

donde λ es llamado el eigenvalor correspondiente. A solo cambia la longitud de v, no su dirección.

Modelo Gráfico

A través de las siguientes Figura 2 y Figura 3, veamos las diferencias de la Ecuación 1 y de la Ecuación 2.

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