Eigenvalores e igenvectores.

[pic 2]                                                                         [pic 3]                

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

ÁLGEBRA PARA INGENIERÍA

RESUMEN 1: EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

HUMBERTO PERRY RODRIGUEZ (tosito95@gmail.com)

INGENIERÍA QUIMICA

MATRICULA : 201551522

JULIAN RUIZ GARCIA (julio_america_num1@hotmail.com)

                                         INGENIERÍA QUIMICA        

                                        MATRICULA : 201546604

                                   PERIODO: PRIMAVERA 2016                                

                                            ìNDICE

PORTADA……………………………………………………………. 1

INTRODUCCIòN …………………………………………………….3

EIGENVECTORES Y EIGENVALORES  2X2…………………….4

EIGENVECTORES Y EIGENVALORES  3X3…………………….7

CONCLUSIONES…………………………………………………...12

BIBLIOGRAFìA………………………………………………………13

                                                                      Introducción

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar? recibe el nombre valor propio, auto valor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios.

Un espacio propio, auto espacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.

Valores propios y vectores propios ( eigenvalores y eigenvectores) de matrices reales y complejas

A continuación se va a desarrollar un  valor propio y se plantea de la siguiente manera:

[pic 4]

                                                Matriz de 2x2

1. Primer ejercicio

Para determinar los eigenvectores y eigenvalores de una matriz de 2x2 , es necesario tomar en cuenta lo siguiente:

Dada la matriz A:

[pic 5]

Es necesario restar la matriz A por la matriz aumentada , pero en lugar de 1 principal , dicha matriz , tendra lambdas  

[pic 6]

De la siguiente manera quedara (A)-( λ)

[pic 7]

Y es necesario primero obtener los eigenvalores ,y estos se obtienen desarrollando el determinante de la matriz A , para asi sacar el polinomio caracteristico , de la siguiente manera:

                                                     A= [pic 8]

detA= (*(-(3)*(0) =      [pic 9][pic 10][pic 11]

(   factorizamos y  despues  igualamos a 0 cada factorizacion del POLINOMIO CARACTERISTICO[pic 12]

[pic 13]

y asi  tenemos ya dados los 2 eigenvalores

ahora procedemos a susituir cada eigenvalor en la matriz aumentada , restandole rlprimer eigenvalor a dicha matriz:

 = ;     =  [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Ahora procedemos a realizar las ecuaciones , tomando en cuenta que la columna uno es para los valores x1 y la columna 2 es para los valores de x2

 entonces ……   =0[pic 20][pic 21]

Y solo damos valores para asi encontrar los eigenvectores

 = *   …….   estos son los primeros eigenvectores con el primer eigenvalor[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Ahora procederemos a realizar el mismo desarrollo , pero ahora con el [pic 26]

 = ;     =  [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Y entonces , encontraremos sus segundos eigenvectores con el segundo eigenvalor

0                =0         [pic 33][pic 34][pic 35]

=     hemos encontrado el segundo y ultimo eigenvector.[pic 36][pic 37]

1. Segundo ejercicio

[pic 38]

[pic 39]

es necesario primero obtener los eigenvalores ,y estos se obtienen desarrollando el determinante de la matriz A , para asi sacar el polinomio caracteristico , de la siguiente manera:

                                                                              A= [pic 40]

detA= (*(()*(1) =      [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

( ()  factorizamos y  despues  igualamos a 0 cada factorizacion del POLINOMIO CARACTERISTICO[pic 45][pic 46][pic 47]

[pic 48]

y asi  tenemos ya dados los 2 eigenvalores

ahora procedemos a susituir cada eigenvalor en la matriz aumentada , restandole rlprimer eigenvalor a dicha matriz:

=     =[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

Ahora procedemos a realizar las ecuaciones , tomando en cuenta que la columna uno es para los valores x1 y la columna 2 es para los valores de x2

...