Ejercicio #1

Ejercicio #1

1.- Se quiere construir una caja rectangular cortando un cuadro de cada esquina de una pieza rectangular de cartón y doblándolos hasta formar la caja deseada. Si las dimensiones de la pieza son 20 cm x 30 cm. Encuentre las dimensiones de la caja más grande que se puede construir.

Primero hay que dibujar algo que ejemplifique el problema:

Con esa imagen se ejemplifica que para obtener el Volumen la ecuación es:

V = (30 – 2x)*(20-2x)*(x)

Desarrollamos la ecuación y nos resulta:

V = (600 – 100x + 4x2)*(x)

V = 600x – 100x2 + 4x3

Utilizamos el método de máximos y mínimos para obtener las raíces:

Derivamos:

V’ = 600 – 200x + 12x2

Igualamos a 0 para obtener las raíces:

12x2 – 200x + 600 = 0

(200±√(40000-28800))/24

(200±√11200)/24

(200±105.83)/24

x1 = 12.7 cm

x2 = 3.92 cm

Por razón lógica, la primera raíz es muy grande para poder ser x, entonces obtenemos la segunda derivada y sustituimos en ella la segunda raíz:

V = 12x2 – 200x + 600

V’ = 24x -200

Entonces

24*(3.92) – 200 = -105.92

Es menor a 0 por lo tanto es MÁXIMO

R= Entonces, las dimensiones quedarían 30 cm – 3.92 cm =26.07 cm y 20 cm – 3.92 cm = 16.07 cm

Ejercicio # 2

2-Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada abierto por arriba. Debe tener 125 m3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de 12 $/m2 y el fondo es de 20 $/m2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo?

Primero se debe realizar un dibujo que ilustre lo que se quiere encontrar con el problema, es decir, las dimensiones.

Ahora bien, vemos que con los datos que se tienen, se pueden formular dos ecuaciones:

Volumen= x2y

Costo= $ Caras laterales*(4xy) + $ Fondo*(x2) (no se cuenta la parte de arriba por que es abierta)

Sustituyendo el valor de volumen y despejando y en la ecuación se obtiene:

y = (125 m3)/x2

Sustituyendo los valores de Caras laterales y Fondo en la fórmula de Costo tenemos:

C= (12 $/m2)*(4xy) + (20 $/m2)*(x2)

Y sustituyendo y en la ecuación de Costo la dejamos en función de x:

C= (12 $/m2)*(4x*(125m3)/x2) + (20 $/m2)*(x2)

Haciendo las operaciones correspondientes:

C= (12 $/m2)*((500m3)/x) + 20x2 $/m2

C= (6000 $m)/x + 20x2 $/m2

Utilizando el método de máximos y mínimos:

Derivamos:

C’= (-6000 $m)/x2 + 40x $/m2

Obtenemos la raíz igualando a 0 (esa raíz sería el ancho y el largo):

0 = (-6000 $m)/x2 + 40x $/m2

(6000 $m)/x2 = 40x $/m2

6000 $m = 40x3 $/m2

6000 $m3= 40x3 $

(6000 $m3)/40 $ = x3

150 m3= x3

∛(150 m^3 ) = x3

5.31 m = x

Obteniendo la segunda derivada y sustituyendo la raíz sabremos si es Máximo o Mínimo:

C’’= -(-6000*2x)/(x2)2 + 40

C’’= (12000x)/x4 + 40

C’’= 12000/x3 + 40

12000/5.313 + 40 = 80.14 + 40 = 120.14

Es positivo, por lo tanto es MÍNIMO

Sólo falta obtener lo que vale la altura (y):

y = (125 m3)/ (5.31 m)2 = 125 m3/ 28.19 m2 = 4.43 m

R= las dimensiones para que el costo sea mínimo deben ser x = 5.31 m y y = 4.43 m

Ejercicio # 3

3-Una ventana en forma de un rectángulo coronado de un triángulo equilátero tiene 5 m de perímetro. Determine las dimensiones de la ventana para que deje pasar la cantidad máxima de luz.

• Antes que nada tenemos que utilizar una imagen que muestre el problema:

• Ahora podemos deducir dos ecuaciones que nos ayuden a resolver el problema:

Perímetro = 2*ancho + largo + 2*lado del triángulo = 5 m

Área total = base*altura + (base*altura)/2

• Entonces con las variables quedaría de este modo:

Perímetro = 2x + 3y = 5 m

Área total = xy + (y (y - y/2))/2 = xy + (y2 – y2/2)/2 = xy + (y2/2 – y2/4)

• Despejando y del Perímetro:

3y = 5 – 2x

y = (5 – 2x)/3

• Lo sustituimos en la fórmula de Área total y hacemos las operaciones:

A = x*((5 – 2x)/3) + ((5 – 2x)/3)2/2 – ((5 – 2x)/3)2/4

A

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