Funcion Cuadratica

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax2 es el término cuadrático

Bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

CARACTERÍSTICAS FUNCION CUADRÁTICA

Las funciones cuadráticas tienen las siguientes características:

1. El dominio es el conjunto de los números reales.

2. Son continuas en todo su dominio.

3. Siempre cortan al eje Y en el punto (0, c).

4. Cortarán al eje X (en uno o dos puntos) o no, dependiendo de las soluciones de la ecuación ax2+ bx + c = 0.

5. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba y si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo.

6. Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.

7. Tienen un vértice, punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o un máximo(a< 0).

8. Tiene un eje de simetría que es la recta vertical que pasa por el vértice.

9. Si a > 0, la función es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice.

10. Si a < 0, la función es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y decreciente para valores a la derecha del vértice.

11. Si a > 0 es convexa y si a < 0 es cóncava.

EJEMPLO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Ejercicios resueltos de la función cuadrática

Ejercicio 1

Representa gráficamente la función cuadrática:

y = -x² + 4x - 3

1. Vértice

x v = - 4/ -2 = 2 y v = -2² + 4• 2 - 3 = -1 V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² - 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, -3)

Ejercicio 2

Representa gráficamente la función cuadrática:

y = x² + 2x + 1

1. Vértice

x v = - 2/ 2 = -1 y v = (-1)² + 2• (-1) + 1= 0 V(- 1, 0)

1. Puntos de corte con el eje OX.

x² + 2x + 1= 0

Coincide con el vértice: (-1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, 1)

ejercicio 3

Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

1. y= (x-1)² + 1

V= (1, 1) x = 1

2. y= 3(x-1)² + 1

V= (1, 1) x = 1

3. y= 2(x+1)² - 3

V= (-1, -3) x = -1

4. y= -3(x - 2)² - 5

V= (2, -5) x = 2

5. y = x² - 7x -18

V= (7/2, -121/ 4) x = 7/2

6. y = 3x² + 12x - 5

V= (-2 , -17 ) x = -2

Ejercicio 4

Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

1. y = x² - 5x + 3

b² - 4ac = 25 - 12 > 0 Dos puntos de corte

2. y = 2x² - 5x + 4

b² - 4ac = 25 - 32 < 0 No hay puntos de corte

3. y = x² - 2x + 4

b² - 4ac = 4 - 4 = 0 Un punto de corte

4. y = -x² - x + 3

b² - 4ac = 1 + 12 > 0 Dos puntos de corte

ejercicio

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