Funciones Cuadraticas

FUNCIONES CUADRÁTICAS

La forma general de la función cuadrática es

La gráfica de una función cuadrática (de segundo grado) es una parábola; para representar gráficamente dicha función se procede así:

1. Se construye una tabla de valores ( seis pares de valores son suficientes).

2. Es indispensable hallar las coordenadas del vértice de la parábola. Para hallar la abscisa del vértice se utiliza la fórmula:

La ordenada o valor de la función en el vértice se halla sustituyendo el valor de x, obtenido mediante la fórmula anterior, en la ecuación y realizar las operaciones indicadas.

3. También es muy útil hallar las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje y, lo cual se consigue sustituyendo la x por 0 y operando. La conclusión final es que la gráfica corta al ejey en c

4. Se ubican en el plano cartesiano los puntos cuyas coordenadas hemos hallado en los pasos precedentes, y se unen mediante una curva.

5. La solución gráfica de la ecuación de segundo grado (las raíces de la ecuación, esto es, los valores de x para los cuales la ecuación da 0) son los puntos donde la gráfica corta al eje x.

x -5 -4 -3/2 1 2

y 6 0 -25/4 0 6

LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS TIENEN LA FORMA: AX2+BX+C

EJEMPLO: 3X2+5X+6

(X+3)2 ESTA FUNCION HABRIA QUE ORDENARLA, SIGUIENDO UNA DE LAS FORMULAS:

(a+b)2= a2+2ab+b2

(a-b)2= a2-2ab+b2

(a+b)•(a-b)= a2-b2

EN ESTE CASO SERÁ CON LA 1ª FORMULA.

(X+3)2= X2+2X•3+32= X2+6X+9.

LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS SIEMPRE SERÁ UNA PARÁBOLA. VÉRTICE MÁXIMO

VÉRTICE MÍNIMO

LAS PARÁBOLAS SON SIMÉTRICAS RESPETO AL EJE VERTICAL QUE PASA POR SU VÉRTICE.

PROPIEDADES DEL CUOFICIENTE A:

SI LA A>0: LA PARÁBOLA TENDRÁ UN VÉRTICE MÍNIMO, ES DECIR, PASARÁ DE SER DECRECIENTE A SER CRECIENTE.

SI LA A<0: LA PARÁBOLA TENDRÁ UN VÉRTICE MÁXIMO, ES DECIR, PASARÁ DE SER CRECIENTE A SER DECRECIENTE.

CUANTO MAS GRANDE SEA LA A, MAS ESTRECHA SERÁ LA PARÁBOLA.

PROPIEDADES DEL CUOFICIENTE C:

EL PUNTO EN EL CUAL LA PARÁBOLA CORTARÁ EL EJE DE LAS Y(X,Y), SERÁ EL PUNTO (0,C).

DETERMINACIÓN DEL VÉRTICE:

PARA SABER LA X DEL VÉRTICE, LA FORMULA QUE DEBEMOS UTILIZAR ES:

XV= _ B .

2A

PARA SABER LA Y DEL VÉRTICE, HAY QUE SUBSTITUIR LA XV POR LA X DE LA FUNCIÓN. LA Y QUE NOS SALGA SERÁ LA Y DEL VÉRTICE.

PARA GRAFICAR UNA PARÁBOLA, LO PRIMERO QUE HAY QE HACER, ES CALCULAR DONDE ESTARÁ EL VÉRTICE. DESPUÉS, CALCULAMOS LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES. Y SI TODAVÍA NO SABEMOS COMO SERA LA PARÁBOLA, CALCULAREMOS PUNTOS CRECANOS AL VÉRTICE.

INTERSECCIÓN CON LOS EJES:

INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS Y:

X=0 SERÁ EL PUNTO (0,C)

EJEMPLO:

EN LA FUNCIÓN:

Y=X2,

INTERSECCINARÁ CON EL EJE DE LAS Y EN EL PUNTO (0,0) PORQUE LA C=0.

INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS X:

Y=0

EJEMPLO:

EN LA FUNCIÓN:

Y=X2

0=X2

PARA SABER EL VALOR DE LA X SE RESUELVE LA ECUACIÓN CON LA FÓRMULA:

X= -B+- B2-4AC

2A

PRÁCTICA:

GRAFICAR PARÁBOLAS:

SE CALCULA DONDE ESTARÁ EL VÉRTICE, LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES, Y SI TODAVÍA NO SE DETERMINA BIEN LA FORMA DE LA PARÁBOLA, SE BUSCAN PUNTOS

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