Fundamentos De Probabilidad

2.1. Conjuntos y técnicas de conteo.

2.1 CONJUNTO Y TECNICAS DE CONTEO. Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente: • La colección de elementos debe estar bien definida. • Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez. • El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia. • El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

Principios de conteo: aditivo y multiplicativo.

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

Ejemplos:

1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

Ejemplos:

1) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución:

Considerando que r = 4 pasos

N1= maneras de hacer cimientos = 2

N2= maneras de construir paredes = 3

N3= maneras de hacer techos = 2

N4= maneras de hacer acabados = 1

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

1) ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

Solución:

a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos

b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos

c. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos

d. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

.Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y 2 pares de calzado?

Solución:

3 x 4 x 2 = 24 maneras diferentes

Notación Factorial

En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.

Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta l y se define como:

4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee“cuatro factorial”

3 x 2 x 1 = 3! Se lee “tres factorial”

En términos generales:

n(n-1)(n-2)...x 2 x 1 = n! Se lee “n factorial”

Propiedades:

a) para n natural

n! = n(n-1)!

Ejemplo: 7! = 7 x 6! = 7 x 6 x 5 x 4!

b) 0! = 1

Ejemplos:

1) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2) 4! 3! = (24)(6) = 144

3)

4)

5)

2.2 CONCEPTO CLASICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA.

Definición Clásico. La probabilidad clásica: el enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables, entre el número de resultados posibles.

La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

Como frecuencia relativa

Probabilística: se basa en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. La probabilidad de que un evento suceda se calcula por medio de:

P (E)= número de veces que el evento ocurrió en el pasado

Numero total de observaciones

Definición Frecuencial. La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E Sea A cualquier suceso perteneciente a E Si repetimos n veces el experimento en las mismas Condiciones, la frecuencia relativa del suceso A será: Cuando el número n de repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge hacia un valor que llamaremos probabilidad del suceso A. Es imposible llegar a este límite, ya que no podemos repetir el experimento un número infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse Esta definición frecuentista de la probabilidad se llama también probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio correspondiente. Algunos autores las llaman probabilidades teóricas.

Conceptos básicos

Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia.

Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.

Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.

Los fenómenos observables se pueden clasificar en:

Deterministicos. Se puede predecir el resultado.

Aleatorios. No se puede predecir el resultado.

Espacio Muestral (Resultados). Es el conjunto de todos los posibles resultados que hay en un fenómeno aleatorio. El espacio muestral se clasifica en:

Espacio muestral Discreto. Es aquel donde se puede contar el número de posibles resultados.

Espacio muestral Continuo. No se puede enumerar los posibles resultados, debido a que, el espacio muestral continuo esta definido sobre la recta de los números reales.

Evento. Es un conjunto de resultados que tiene cierta característica común. Los eventos pueden ser:

Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados.

Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado.

Evento complementario. Es aquel evento que esta compuesto por los

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