Glosario De Terminos

Estimaciones en intervalos de confianza

Introducción:

Se pretende conocer y saber calcular las estimaciones puntuales y por intervalo para la media – ya sea conocida o no la desviación estándar poblacional -, así como las estimaciones para la probabilidad de éxito en una binomial.

En el caso en que conozcamos todos los elementos de una población, es sencillo calcular todos los parámetros asociados; sin embargo, en la mayoría de casos no será así, y necesitaremos estimar algunos de ellos a partir de los parámetros de la muestra.

Estimación:

Un estadístico utilizado para aproximar un parámetro de población se denomina estimador del parámetro. El número obtenido cuando se evalúa el estimador para una muestra en particular, es una estimación del parámetro.

Si quiero conocer la estatura promedio de los colombianos podría hacer dos cosas:

 Tomar la estatura de todos y cada uno de los colombianos y calcular el valor promedio.

 Tomar una muestra de colombianos y calcular el valor promedio de la muestra.

El valor que encontramos en el primer caso es el valor real y se denomina parámetro. en el segundo caso tendremos un valor aproximado al valor real que se denomina estimación.es decir, un parámetro de la poblaciones estimado a partir de una muestra, siendo el estimador la función o estadístico elegido entre los posibles para caracterizar al parámetro. el valor tomado por dicho estimador en cada caso concreto recibe el nombre de estimación.

En la notación utilizada en publicaciones sobre estos temas, los parámetros se representan con letras griegas y los estimadores o estadísticos con letras latinas. Es decir, si estamos hablando del promedio de todos los colombianos se denota como µ y el valor que arroja la muestra se denota como . Para lograr que la muestra nos permita obtener un estimador lo más cercano al parámetro se deben cumplir dos condiciones:

Asegurar un adecuado proceso de muestreo.

Obtener un buen tamaño de muestra

Obtener un buen estimador permite sacar conclusiones que sean aplicables a toda la población de la cual se sacó la muestra.

Se deben distinguir dos tipos de estimación: la estimación puntual y la estimación por intervalo.

La estimación puntual: consiste en asignar un único valor como estimación del parámetro; esta estimación se utiliza cuando queremos conocer el valor concreto de un parámetro poblacional y no disponemos de este valor.

La estimación por intervalo: es aquella que calcula un intervalo que contenga entre sus límites, con cierta probabilidad, el verdadero valor del parámetro poblacional. Este intervalo se llama intervalo de confianza.

Cuando queremos realizar un estudio de una población cualquiera de la que desconocemos sus parámetros, por ejemplo su media poblacional o la probabilidad de éxito si la población sigue una distribución binomial, debemos tomar una muestra aleatoria de dicha población a través de la cual calcular una aproximación a dichos parámetros que desconocemos y queremos estimar. Bien, pues esa aproximación se llama estimación.

Además, junto a esa estimación, y dado que muy probablemente no coincida con el valor real del parámetro, acompañaremos el error aproximado que se comete al realizarla

Existen dos tipos de estimaciones para parámetros; puntuales y por intervalo.

 Una estimación puntuales un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador.

 Una estimación por intervalos es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro.

Estimación por intervalos:

Hemos visto que la media muestral es un buen estimador puntual de la media poblacional. El inconveniente principal es que un único valor observado de generalmente no es exactamente igual a µ; habrá cierta diferencia entre y µ . Sería conveniente tener idea de lo cerca que está nuestra estimación del verdadero valor de la media poblacional. También sería bueno poder dar información de los seguros o confiados que estamos de la precisión de la estimación.

Para tener una idea, no solo del valor de la media, sino también de la precisión de la estimación, los investigadores optan por el método de estimación por intervalo o intervalos de confianza. Un intervalo estimador es lo que su propio nombre indica, un intervalo aleatorio, cuyos puntos extremos L 1 y L 2 son estadísticos.

Esto se utiliza para determinar un intervalo numérico a partir de la muestra. Se espera que este contenga el parámetro de la población que está siendo estimado. Si se amplía el intervalo, se gana error, se pierde confianza. Un intervalo de confianza de µ del 95% es tal que: . Decir que un intervalo es un intervalo de confianza del 95% de µ significa que, cuando se utiliza un muestreo repetido de la población, el 95% de los intervalos resultantes deberá contener a µ; debido al azar, el 5% no incluirá la verdadera media poblacional. El grado de confianza deseado es controlado por el investigador.

Un estimado puntual, por ser un sólo número, no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación.

Por ejemplo, imagine que se usa la media de una muestra para estimar (estimador puntual) la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de cierta marca y suponga que = 9322.7.

Debido a la variabilidad de la muestra, casi nunca se tendrá el caso de que= μ. El estimador puntual nada dice sobre lo cercano que esta de μ. Una alternativa para reportar el valor del parámetro que se esté estimando es calcular un intervalo de valores factibles, es decir un límite de confianza o intervalo de confianza (IC).

La estimación por intervalos de un parámetro desconocido θ proporciona información acerca de los valores de los parámetros que estamos estimando una indicación del nivel de confianza que se le puede dar a los posibles valores de los parámetros

Un intervalo de confianza para θ es de la forma L ≤ θ ≤ U, donde los extremos inferior y superior L y U dependen del valor numérico obtenido en una muestra para un cierto estadístico T, escogido según el parámetro θ que queremos estimar. L y U son variables aleatorias (distintas muestras producen distintos valores de L y U)

Definición:

En este tema vamos a estudiar como estimar, es decir pronosticar, un parámetro de la población, generalmente la media, la varianza (en consecuencia la desviación típica) y la proporción, a partir de una muestra de tamaño n. Pero a diferencia de la estimación puntual donde tal estimación la efectuábamos dando un valor concreto, en esta ocasión el planteamiento es otro. Lo que haremos es dar un intervalo donde afirmaremos o pronosticaremos que en su interior se encontrará el parámetro a estimar, con una probabilidad de acertar previamente fijada y que trataremos que sea la mayor posible, es decir próxima a 1.

Para ello vamos a establecer la notación a utilizar:

Parámetro En la muestra En la población

Media X µ

Varianza Sn2 σ 2

Desviación típica Sn σ

Cuasi varianza Sn-12 Σn-1

Es importante el uso de la calculadora para hallar estos valores en la muestra.

Hemos dicho que vamos a proponer un intervalo donde se encontrará el parámetro a estimar, con una probabilidad de acierto alta. Al valor de esta probabilidad la representaremos por 1-α, y la llamaremos nivel de confianza. A mayor valor de 1- α, más probabilidad de acierto en nuestra estimación, por tanto eso implica que α tendrá que ser pequeño, próximo a 0.

Recordemos que 1- α representa siempre una probabilidad por lo que será un valor entre 0 y 1, si bien en la mayoría de los enunciados de los problemas suele ser enunciado en términos de tanto por ciento. Así cuando, por ejemplo, se dice que el nivel de confianza es del 90%, significa que 1- α vale 0,9 y por tanto α vale 0,1.

Para interpretar bien estos conceptos veamos un ejemplo:

Supongamos que deseamos estimar la media de la estatura de una población mediante un intervalo de confianza al 95% de nivel de confianza, con una muestra de tamaño 50. Supongamos que tras los cálculos necesarios, el intervalo en cuestión es (a, b). Pues bien, esto quiere decir que si elegimos 100 muestras de tamaño 50 y cada vez calculamos el intervalo de confianza resultante, acertaremos en nuestro pronóstico en 95 de las 100 veces que realizaríamos la estimación con cada muestra.

Un dato importante como es de esperar, es el tamaño de la muestra, que representaremos por n. Es evidente que, a igual nivel de confianza, cuanto mayor tamaño tenga la muestra, el intervalo de confianza se reducirá puesto que el valor obtenido en la muestra se acercará más al valor real de la población y por tanto el margen de error cometido (radio del intervalo) se hará más pequeño.

Si el tamaño de la muestra permanece constante y variamos 1- α. el tamaño del intervalo se hará más grande cuanto más aumente 1- α, es decir que el margen de error se hará más grande cuanto más precisión exijamos.

Por ejemplo, si para dar un intervalo de confianza de la media de la estatura de una población de adultos de un país, es seguro que acertaría al cien por cien si el intervalo que diese fuese (150 cm, 190 cm), pero sería una estimación absurda ya que no sabría apreciar realmente la media. Por tanto se trata de dar un intervalo lo más reducido posible.

Cálculo de intervalos de confianza. Método del pivote

El cálculo de intervalos de confianza no es un proceso fácil cuando la variable en estudio no sigue unas pautas de normalidad, por lo que nosotros vamos a suponer siempre que la variable con la que vamos a trabajar sigue una distribución normal.

Dicho esto, el proceso para obtener el intervalo es dar una variable aleatoria donde intervenga el parámetro a estimar y el correspondiente de la muestra. A esta variable se le llama estadístico pivote y debe seguir una distribución de probabilidad conocida. Por ejemplo para el cálculo de un intervalo de confianza de la media se utiliza el siguiente estadístico pivote:

Pues bien, esa expresión donde interviene la media muestral, la media poblacional, la cuasi desviación típica y el tamaño muestral, sigue una distribución de probabilidad conocida que se encuentra tabulada, llamada t-Student con n-1 grados de libertad. Se trata pues de dar un intervalo (a, b) de modo que P(a < g < b) = 1−α, siendo g el estadístico pivote correspondiente.

Una vez establecida esa desigualdad, despejamos el parámetro poblacional que es el que queremos centrar en el intervalo.

Intervalo de confianza para µ con σ conocida.

Un vendedor mayorista de partes automotrices necesita una estimación de la vida media que puede esperar de los limpiaparabrisas en condiciones normales de manejo. La administración de la empresa ya ha determinado que la desviación estándar de la vida útil de la población es de seis meses. Supongamos que se selecciona una sola muestra aleatoria de 100 limpiaparabrisas, y obtenemos que la vida media de estos 100 limpia parabrisas sea de 21 meses. Se pide calcular un intervalo de confianza del 95% para la vida media de la población de los limpiaparabrisas.

Tenemos X como la distribución de la vida útil en meses de la población de limpiaparabrisas, no sabemos qué distribución tiene, al igual que desconocemos su media.

Intervalo de confianza para la media de una población

De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muéstrales coincide con la media poblacional:

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, la distribución de medias muéstrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

.

Esto se representa como sigue:

Si estandarizamos, se sigue que:

En una distribución Z ~ N (0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 yz2 tales que P [z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)•100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).

Se desea obtener una expresión tal que

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará (debido a que es el error que se cometerá, un término opuesto).

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