MATEMATICAS ALGEBRA LINEAL

ANALISIS MATRICIAL

MATRICES

Una MATRIZ es un arreglo rectangular de números, son útiles porque permiten considerar a un arreglo de números como un solo objeto, representarlo por medio de un solo símbolo y realizar cálculos con estos símbolos en una forma muy compacta

Definición:

Se llama MATRIZ a todo conjunto de números colocados en filas y columnas, de tal manera que todas las filas (o columnas) tengan el mismo número de elementos.

Un arreglo rectangular de la forma:

donde los aij son escalares en un cuerpo K( conjunto de números reales o complejos), se llama una Matriz sobre K.

• Las Matrices son arreglos rectangulares de números (reales o complejos) encerrados entre corchetes o paréntesis.

Ejem: ,

• Los números a11, … , amn se llaman ELEMENTOS de la Matriz

• Las Matrices se denotan mediante letras Mayúsculas A, B, etc. o escribiendo el elemento general de la matriz (una letra minúscula) acompañada por dos subíndices, encerrados entre corchetes o paréntesis [aij], (bij), etc.

• Las líneas horizontales del arreglo reciben el nombre de FILAS o RENGLONES, y las verticales se llaman COLUMNAS de la Matriz.

• Se dice que una Matriz con m filas y n columnas es una Matriz de orden mxn, (Tamaño o forma mxn).

• El elemento aij, llamado COMPONENTE ij, ocupa la i-ésima fila y la j-ésima columna. El primer subíndice (i) indica la fila y el segundo (j) indica la columna.

• Si una matriz tiene una sola fila, es decir es de orden 1xn, se denomina Matriz Fila o Vector Fila, y se representa por A = (a1n) = (a11, a12, a13, …, a1n)

• Si una matriz tiene una sola columna, es decir es una matriz de orden nx1, se denomina Matriz Columna o Vector Columna, y se representa por:

Ejemplo:

Si Entonces Sus Filas son

Y sus Columnas son:

A es una matriz de orden (tamaño) 2x3 porque tiene dos filas y 3 columnas

El elemento (o componente) a12 = -3 (Fila 1 y columna 2)

El elemento (o componente) a23 = -2 (Fila 2 y columna 3)

Definición:

Dada A una Matriz de mxn se dice que A es una matriz CUADRADA de orden n, si m = n.

Es decir tiene el mismo número de filas y de columnas

OPERACIONES CON MATRICES

Definición: IGUALDAD DE MATRICES

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de orden mxn, se dice que A y B son iguales, lo que se escribe como A = B, si y ,

aij = bij

Ejemplo:

Dadas las matrices

y

Entonces A y B son iguales, si y solo si (ssi)

x + y = 3

2z + w = 5

x – y = 1

z – w = 4

Resolviendo el sistema de ecuaciones: x = 2; y = 1; z = 3; w = -1

Definición: SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de orden mxn, se define la SUMA entre A y B , como una matriz C = (cij) de orden mxn, tal que: C = A + B, y ,

cij = aij + bij

La suma de dos matrices del mismo tamaño, es la matriz que se obtiene sumando las componentes correspondientes de A y B.

y

Ejemplo: Dadas las matrices

y

Entonces

Ejemplo: Dadas las matrices

y

Entonces

Definición: MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Dada una Matriz A = (aij) de orden mxn y un escalar (k es un número de los reales), se define el producto de k y A, que se escribe como kA o Ak, como una matriz B = (bij) de mxn tal que y : bij = k.aij

Es decir el producto de un escalar k y una matriz A, es la matriz obtenida al multiplicar cada elemento de A por k.

Se define también:

-A = (-1).A y

A – B = A + (-1) B

A la Matriz -A se le llama el NEGATIVO de la Matriz A.

Observación: La suma de matrices de diferente tamaño no está definida.

Ejemplo: Dada la matriz

y k = 3

Ejemplo: Dadas las matrices

y Hallar 2A – 3B

Ejemplo: Dadas las matrices

y Hallar 3A – 5B

Ejemplo: Dadas las matrices A y B, hallar la matriz X tal que A – 2X = 3B

y

A – 2X = 3B → A – 3B = 2X → X = ½(A – 3B)

Definición: MATRIZ NULA

Dada una Matriz A = (aij) de orden mxn, se dice que A es una Matriz NULA o CERO, que se denota como 0, si y : aij = 0

Propiedades de Matrices (Para Suma y Producto por Escalar):

TEOREMA: Sea V el conjunto de todas las matrices mxn sobre un cuerpo K (reales y/o complejos). Entonces para toda matriz A, B, C є V y para todo escalar k1, k2 є K, se cumple:

i) (A + B) + C = A + (B + C)

ii) A + B = B + A

iii) A + O = 0 + A = A

iv) A + (-A) = (-A) + A = O

v) k1(A +B) = k1.A + k1.B

vi) (k1 + k2.) A = k1.A + k2.A

vii) (k1.k2.) A = k1.(k2.A)

viii) 1.A = A; 0.A = O

Definición: MULTIPLICACION DE MATRICES

Dadas dos Matriz A = (aik) de orden mxp y B = (bkj) de orden pxn, se define el producto de A y B, que se escribe como A.B (en ese orden), como una matriz C =(cij) de mxn tal que y :

Es decir si se tienen dos matrices A y B tales que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B, el producto A.B se obtiene multiplicando los elementos de cada fila de A por todas y cada una de las columnas de B.

Ejemplo:

Sean A una matriz de orden 3x2 y B de orden 2x2, entonces el producto A.B está definido ya que el número de columnas de A (2) es igual al número de filas de B (2), y la matriz resultante será de orden 3x2 ya que el número de filas de A es 3 y de columnas de B es 2

3 x 2 . 2 x 2

Entonces:

Es decir para obtener:

el elemento c11, se debe multiplicar los elementos de la fila 1 de A por los elementos de la columna 1 de B;

el elemento c32, se debe multiplicar los elementos de la fila 3 de A por los elementos de la columna 2 de B;

Observación: Si el número de columnas de A no es igual al número de filas de B, entonces el producto A.B no está definido.

Propiedades: La multiplicación matricial tiene las siguientes propiedades:

TEOREMA: Siempre que las sumas y productos estén definidos se cumple:

i) (A.B).C = A.(B.C)

ii) A.(B + C) = A.B + A.C

iii) (B + C).A = B.A + C.A

iv) k(A.B) = (k.A).B = A.(k.B); k escalar

Sin embargo

v) A.B ≠ B.A

vi) A.B = O, no implica necesariamente que A = O o B = O

vii) A.B = A.C, no implica necesariamente que B = C

Observación: En lugar de A.A se escribe A2; A3 = A2.A; etc.

Ejemplo: Dadas las matrices

y

Entonces

El producto B.A no está definido.

Ejemplo: Dadas las matrices

y

Entonces

El producto B.A no está definido.

Ejemplo: Dadas las matrices

y

Entonces

.

Ejemplo: Dadas las matrices

y

Entonces

El producto B.A no está definido.

EJERCICIOS:

1) Realice las siguientes operaciones con matrices:

a)

b)

c)

2) Hallar x, y, z, w si:

3) Dadas las Matrices , y

Hallar: A + B; A + C; 3A – 4B; 2A + 4B – 3C

4) Hallar la matriz X tal que 2A – 3X = B, dadas y

5) Dadas las Matrices , , y

Hallar la matriz X tal que D.X = A.C + B.C

6) Dadas las Matrices , y

Hallar (cuando sea posible) : A2; B2; C2; A.B; B.A; B.C; C.B; A2 + 3A; A.C; C.A

MATRICES ESCALONADAS Matrices de m filas y n columnas.

Definición:

Una matriz esta ESCALONADA REDUCIDA si y sólo si cumple las siguientes condiciones

1. Cualquier fila cuyas componentes sean todas cero, debe estar por debajo de aquellas filas que tengan al menos una componente no nula.

2. La primera componente no nula de cada fila que no tenga todos los elementos nulos debe de ser un 1 (uno). Este 1 (uno) se llama PIVOTE.

3. El número de ceros a comienzo de una fila aumenta a medida que descendemos.

4. Todos los demás elementos de una columna donde aparezca un pivote son ceros.

Diremos que una matriz es escalonada reducida por filas si los elementos que están en la misma columna que el primer 1 de cada fila son todos ceros. Análogo para matrices escalonadas reducidas por columnas.

Ejemplos: Las siguientes matrices son escalonadas por filas:

Ninguna es escalonada reducida por filas

Ejemplos: Las siguientes matrices son escalonadas reducidas por filas:

Operaciones elementales entre filas

Las siguientes operaciones sobre una matriz definen las operaciones elementales

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