Matemáticas I (Álgebra Lineal)

Nota: Las respuestas estarán subrayadas en marcador color amarillo.

Unidad 1.

Actividad Complementaria 1.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Indica en cada caso cuál es el rango de la matriz de coeficientes y cuál el rango de la matriz aumentada. Determina si el sistema es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado. En este último caso señala el número de variables libres del sistema y la forma general (expresión paramétrica) de las soluciones.

1. [pic 1]

Respuesta.

Para poder tanto resolver el sistema de ecuaciones como así poder saber el rango de las matrices se resuelve el siguiente de ecuaciones del inciso a) con el método de Gauss-Jordan. Así que ponemos los coeficientes acomodados tal cual, como la ecuación, pero dispuestos en una especie de matriz no cuadrada, llamada “matriz aumentada”.

[pic 2]

Ahora empezamos a operar esta matriz no cuadrada con las operaciones fundamentales permitidas en el método de Gauss-Jordan. Teniendo lo siguiente:

[pic 3]

De este modo obtenemos una matriz escalonada diagonal, por lo que nuestro proceso se acaba en ese punto, la solución al sistema de ecuaciones lineales es:

[pic 4]

Vamos a comprobar que esto es verdadero.

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

La solución es correcta, pues se cumplen las igualdades de manera simultánea. Puesto que el sistema de ecuaciones lineales del inciso a) tiene una única solución, entonces el sistema es compatible determinado.

Finalmente, el rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango. Comúnmente se expresa como , así, el rango de la matriz de coeficientes es 3 pues es la cantidad de filas (columnas, respectivamente) existentes en la matriz de coeficientes al solo ver los coeficientes que están del lado izquierdo de la raya vertical.[pic 8]

El rango de la matriz aumentada en este caso coincide con el rango de la matriz de coeficientes, que es el número de filas distintas de cero o linealmente independientes entre sí, por lo que el rango de la matriz aumentada es 3.

1. [pic 9]

Respuesta.

Para poder tanto resolver el sistema de ecuaciones como así poder saber el rango de las matrices se resuelve el siguiente de ecuaciones del inciso a) con el método de Gauss-Jordan. Así que ponemos los coeficientes acomodados tal cual, como la ecuación, pero dispuestos en una especie de matriz no cuadrada, llamada “matriz aumentada”.

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