Modelo Cuántico

Modelo cuántico

Según el modelo de Drude-Lorentz la velocidad de los electrones debería variar con la raíz cuadrada de la temperatura, pero cuando se compara el tiempo entre colisiones estimado por el modelo de Drude-Lorentz con la conductividad a bajas velocidades, no se obtienen valores coherentes, ya que esas predicciones del modelo solo son compatibles con distancias interiónicas mucho mayores que las distancias reales.

En el modelo cuántico los electrones son acelerados por el campo eléctrico, y también interaccionan con la red cristalina transfiriéndole parte de su energía y provocando el efecto Joule. Sin embargo, al ser dispersados en una colisión con la red, por el principio de exclusión de Pauli los electrones deben acabar después de la colisión con el momentum lineal de un estado cuántico que previamente estuviera vacío; eso hace que los electrones dispersados con mayor probabilidad sean los más energéticos. Tras ser dispersados pasan a estados cuánticos con un momentum negativo de menor energía; esa dispersión continua hacia estados de momentum opuesto es lo que contrarresta el efecto acelerador del campo. En esencia este modelo comparte con el modelo clásico de Drude-Lorentz la idea de que es la interacción con la red cristalina lo que hace que los electrones se muevan a una velocidad estacionaria y no se aceleren más allá de un cierto límite. Aunque cuantitativamente los dos modelos difieren especialmente a bajas temperaturas.

Dentro del modelo cuántico la conductividad viene dada por una expresión superficialmente similar al modelo clásico de Drude-Lorentz:

Dónde:

\tau\, se llama también tiempo de relajación y es inversamente proporcional a la probabilidad de dispersión por parte de la red cristalina.

m^*\, no es ahora directamente la masa del electrón sino una masa efectiva que está relacionada con la energía de Fermi del metal.

Si por un razonamiento cuántico se trata de calcular la probabilidad de dispersón se tiene:

Dónde:

P_{dis}\, es la probabilidad de dispersión.

n_{dis}\, el número de iones dispersores por unidad de volumen.

\Sigma\, es la sección eficaz de cada dispersor.

v_F\, es la velocidad de un electrón que tiene la energía de Fermi.

De acuerdo con los cálculos cuánticos, la sección eficaz de los dispersores es proporcional al cuadrado de la amplitud de su vibración térmica, y como dicho cuadrado es proporcional a la energía térmica, y esta es proporcional a la temperatura T se tiene que a bajas temperaturas:

Este

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