Método de Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel

Ejemplo 1

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss-Seidel:

15x-3y-z=3300

-3x+18y-6z=1200

-4x-y+12z=2400

Como primer paso verificamos la diagonal dominante:

Ec 1:  15[pic 1]

Ec. 2: 18[pic 2]

Ec. 3: 12[pic 3]

A continuación despejamos los elementos de la diagonal principal para cada una de las ecuaciones:

X=[pic 4]

Y=[pic 5]

Z=[pic 6]

Iteración 1: y=0 e z=0

X=[pic 7]

Y=310/3[pic 8]

Z==5075/18[pic 9]

Iteración 2:

X==14011/54[pic 10]

Y= [pic 11][pic 12]

Z=303.4786523[pic 13]

Continuar las iteraciones correspondientes.

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

ACTIVIDAD. Dado el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, realizar los siguientes pasos:

[pic 14]

[pic 15]

Con los valores iniciales =[pic 16][pic 17]

1. Calcular la matriz de derivadas parciales.
2. Plantear el sistema de ecuaciones lineales a resolverse n veces.
3. Sustituir los valores iniciales para calcular la primera iteración.
4. Calcular la distancia.
5. Realizar el proceso iterativo hasta que la distancia sea menor a 5x10-6.
6. Generar dudas que se aclararán en la siguiente sesión en zoom.

La matriz a usar para el proceso iterativo es:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Con los valores iniciales   se obtiene la siguiente matriz:[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Para la segunda iteración,      e   =22/25 que al sustituir en la matriz inicial obtenemos:[pic 25][pic 26]

[pic 27]

Que al resolver, obtenemos h=0.1917872211  y j= 0.1117117371

Para la tercera iteración,      e   =22/25+0.1117117371=0.9917117371  que al sustituir en la matriz inicial obtenemos:[pic 28][pic 29]

[pic 30]

 h=8.188007949x10-3 y j=8.256787301x10-3[pic 31]

Para la cuarta iteración,      e   =0.9917117371 +8.256787301x10-3=0.9999685244  [pic 32][pic 33]

Resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones No Lineales usando el método de Newton-Raphson:

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Reesribiendo

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Utilizando como vector inicial a [pic 40]

Tomado del libro de Métodos Numéricos de Nieves, p. 361, Ej. 4.17

Calcular la matriz de derivadas parciales J

[pic 41]

Para la primera iteración [pic 42]

[pic 43]

.E.L.[pic 44]

-1.692238434[pic 45]

Para la primera iteración: [pic 46]

Para la segunda iteración, la matriz a resolver es:

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

...