Progresiones aritmeticas

PROGRESIONES ARITMETICAS

Una progresión aritmética es una sucesión de más de dos números (términos de la progresión) tales que cada uno de ellos, a partir del segundo, es igual a la suma del que le precede más un número fijo denominado razón de la progresión.

Ejemplo: 2, 8, 14, 20,26 es una progresión aritmética de razón 6.

Cuando la razón es positiva, la progresión aritmética es creciente; cuando la razón es negativa, la progresión aritmética es decreciente. Si la razón es nula, todos los términos de la progresión son iguales.

Si a designa el primer término y r la razón, los términos sucesivos de la progresión aritmética son a, a + r, a + 2r,… el término que ocupa el lugar p es igual a: a + (p -1) r.

La progresión aritmética de n términos cuyo primer término es a y cuya razón es r es

a, a + r, a + 2r,….., a + (n -1) r

Suma De Los Términos De Una Progresión Aritmética

Designemos los términos sucesivos de una progresión aritmética A de n términos y de razón r por a, b, c,…., h, k, l; diremos que a y l son los extremos.

La sucesión l, k, h,….., c, b, a, de los términos de A enumerados en orden inverso al de A es una progresión aritmética A’ de n términos y de razón –r.

Los términos que ocupan el lugar p (elegido arbitrariamente) en A y A’, de los que se dicen que son, en A o A’, equidistantes de los extremos, son respectivamente iguales a a + (p-1) r y l-(p-1) r. su suma vale a + l. luego, en una progresión aritmética, la suma de los dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de dichos extremos.

Esta circunstancia permite obtener una expresión abreviada de la suma de los términos de una progresión aritmética. En efecto, sea S la suma de los términos de una progresión aritmética dada A, de n términos y de razón r. Con las mismas notaciones de antes:

S= a + b + c +…+ h + k + l.

Si ahora, escribimos los términos de esta suma en el orden inverso, que es el de los términos de A’:

S= l+k+h+…+c+b+a.

Sumemos miembro a miembro ambas igualdades, agrupando dos a dos los términos que, en los segundos miembros, ocupen respectivamente el mismo lugar:

2s = (a+1)+(b+k)+(c+h+… +(h+c)+(k+b)+(l+a)

Cada expresión entre paréntesis del Segundo miembro contiene la suma de dos términos equidistantes de los extremos, es decir, una suma igual a la suma a+1 de ambos extremos; el segundo miembro constas de n paréntesis.

Progresiones. Logaritmos

2. los n números naturales

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