Teorema Del Binomio

TEOREMA DEL BINOMIO

En Matemática el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

El coeficiente a en el término de xbyc es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).

FORMULACION DEL TEOREMA

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación:

El coeficiente de en el desarrollo de es

donde recibe el nombre de coeficiente binominal y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de pascal:

(2)

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

TEOREMA GENARALIZADO DEL BINOMIO (NEWTON)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3)

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

UN POCO DE HISTORIA SOBRE EL TEOREMA DEL BINOMIO

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera

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