ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE TEMAS TEORICOS DEL PROGRAMA DE ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

[pic 1]ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE TEMAS TEORICOS DEL PROGRAMA DE ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

En esta página incluimos las demostraciones de algunos temas teóricos que en ciertas ocasiones, por razones de disponibilidad de tiempo, no pueden dictarse en los cursos, pero que están incluidos en el programa analítico de la materia y que por lo tanto es necesario conocer y saber demostrar.

En la tipografía empleada, indicaremos los vectores con negrita.

Unidad VII: Espacios Vectoriales

1.- La intersección de dos subespacios es un subespacio vectorial

En primer lugar recordemos la definición de intersección de subespacios. Si S1 y S2 son dos subespacios vectoriales incluidos en un espacio vectorial V, S = S1 [pic 2] S2 está formado por todos los vectores u pertenecientes a V tales que u pertenece a S1 y simultáneamente u pertenece a S2.

Para probar que efectivamente S =  S1 [pic 3] S2 es un subespacio vectorial de V debe cumplirse:

a.- Que S no sea vacío 

Esto es cierto por cuanto al ser S1 y S2 subespacios, siempre el vector nulo (0) pertenece a ambos, por lo que la intersección de S1 y S2 siempre cuenta por lo menos con un elemento: el mencionado vector nulo.

b.- Que sea cerrado para la suma

Consideremos un vector u que pertenece a S1 [pic 4] S2  y un vector v que pertenece a S1  [pic 5] S2.

Debemos probar que u + v pertenece a S1 [pic 6] S2.

Si u pertenece a S1  [pic 7] S2 entonces u pertenece a S1 y a la vez u pertenece a S2, por definición de intersección de subespacios.

Del mismo modo, si v pertenece a S1  [pic 8] S2 entonces v pertenece a S1 y a la vez v pertenece a S2, por similar razón.

Como S1 es un subespacio vectorial de V, si u pertenece a S1 y v también pertenece a S1, su suma u + v pertenecerá a S1, por cuanto al ser S1 subespacio como hemos mencionado, es cerrado para la suma (1)

Análogamente, como S2 es un subespacio vectorial de V, si u pertenece a S2 y v también pertenece a S2, su suma u + v pertenecerá a S2, por cuanto al ser S2 subespacio, es cerrado para la suma (2)

Considerando lo expuesto en (1) y (2), resulta que u + v pertenece tanto a S1 como a S2, por lo que por definición de intersección, pertenece a S1 [pic 9] S2. Con ello probamos que es cerrado para la suma.

c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar

Consideremos un vector u que pertenece a S1 [pic 10] S2 y un escalar α que pertenece al cuerpo de los números reales (R).

Debemos probar que αu pertenece a S1 [pic 11] S2.

Si u pertenece a S1 [pic 12] S2, entonces u pertenece tanto a S1 como a S2, por definición de intersección de subespacios.

Si u pertenece a S1, αu también pertenece a S1, por cuanto éste es subespacio vectorial y es cerrado para el producto por un escalar. (3)

Análogamente, si u pertenece a S2, αu también pertenece a S2, por cuanto éste también es subespacio vectorial y es cerrado para el producto por un escalar. (4)

De lo expuesto en (3) y (4) resulta que αu pertenece simultáneamente a S1 y a S2, por lo cual pertenece a S1 [pic 13] S2 por definición de intersección de subespacios, con lo que queda demostrado que esta operación es cerrada.

En consecuencia, al no ser un conjunto vacío y cumplir con la condición necesaria y suficiente para que un conjunto S[pic 14]V sea subespacio vectorial de éste, S =  S1  [pic 15] S2 es un subespacio vectorial.

2.- La suma de dos subespacios es un subespacio vectorial

Recordemos en primer lugar la definición de suma de subespacios: si S1 y S2 son dos subespacios incluidos en un espacio vectorial V, el subespacio S = S1 + S2 está formado por todos los vectores v de V tales que v = v1 + v2, con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2.

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