Coloquio Algebra Y Geometria Analitica

1. ¿Qué relación existe entre las partes real e imaginarias de un número complejo y su opuesto? ¿Y entre las de un número complejo y su conjugado?

Sea z = a + b i, a es la parte real del número complejo z y b es la parte imaginaria de z. La expresión a + bi recibe el nombre de forma binómica del número complejo z.

Si la parte imaginaria es cero, tenemos un número real. Si la parte real es cero, un número imaginario puro.

El opuesto de un número complejo z=a+bi es el número complejo -z=-a-bi.

Mientras que el conjugado de z se define como =a-bi

Por lo tanto la relación principal que se puede observar a grandes rasgos, es que el opuesto de un número complejo, es el resultado de cambiarle los signos de la parte real y la imaginaria a dicho número (z = a +bi ; -z= -a-bi). Por otra parte, se observa también que ambos son gráficamente simétricos respecto del origen de coordenadas.

Mientras que el conjugado de dicho número, es el resultado de cambiarle el signo, únicamente a la parte imaginaria de éste. (z=a+bi; z(conjugado) =a-bi). Por otra parte, se observa que los números complejos z=a+bi y =a-bi , gráficamente son simétricos respecto del eje de las absisas.

2. ¿Qué relación existe entre los módulos y los argumentos de un número complejo y su opuesto? ¿Y entre los de un número complejo y su conjugado?

Se llama módulo del número complejo z = a + bi, y se representa por m o |z|, a la longitud del vector OP.

Propiedades:

|z| = 0 ==> z = 0

|-z| = |z|

|z´| = |z|

|z1 + z2| < |z1| + |z2| (Llamada propiedad triangular).

|z1| - |z2| < |z1 - z2|

|z1 • z2| = |z1| • |z2|

Si c C R, |c•z| = |c| • |z|, donde |c| es el valor absoluto de c.

Se denomina argumento del número complejo z = a + bi, y se representa por  al ángulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas. Para determinar el valor de  se aplica la fómula:

La determinación del argumento no es única ya que existen infinitos ángulos con la misma tangente. Si se restringe la determinación a ángulos comprendidos entre 0 y 2 (0° y 360°), existen dos ángulos, que difieren en  radianes (180°), con la misma tangente. El argumento dependerá de los signos de a y b, es decir, del cuadrante en el que está situado el afijo de dicho número complejo.

Definidos los conceptos necesarios, encontramos la relación en que:

*Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

*Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

*Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuesto, su argumento.

3. ¿Qué semejanzas y qué diferencias encuentras entre los números complejos y los vectores de dos dimensiones?

Las semejanzas y diferencias que encontramos entre los números complejos y los vectores de R2, son principalmente las que se reflejan en las propiedades de las operaciones básicas como la suma, resta y multiplicación.

Semejanzas:

Si definimos C a partir de R2, podemos dar a los complejos una interpretación

de vectores en dos dimensiones, como muestra la siguiente figura.

Figura: Representación del “plano” complejo.

Si z = a + bi ∈ C, entonces −z = −a − bi y = a − bi.

De este modo, geométricamente −z es el vector

opuesto a z, y es el vector reflejado de z con respecto al eje horizontal, al cual se le llama eje real. Al eje vertical se le llama eje imaginario.

Figura: Representación gráfica de z, −z y .

También podemos relacionar la suma de números complejos con la suma de vectores. Ya que se encuentra una semejanza en algunas propiedades de ambas, tales como:

Propiedades de la suma de vectores

1-Asociativa

+ ( + ) = ( + ) +

2-Conmutativa

+ = +

3-Elemento neutro

+ =

4-Elemento opuesto

+ (− ) =

Propiedades de la suma de complejos

1. Asociativa: [(a+bi) + (c+di)] + (e+fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)]

2. Elemento neutro: es el número 0 = 0+0i, ya que se cumple

(a+bi) + 0 = 0 + (a+bi) = a+bi

3. Elemento simétrico: Dado a+bi su elemento simétrico, llamado opuesto, es -(a+bi) = -a-bi,

ya que se cumple (a+bi) + (-a-bi) = (-a-bi) + (a+bi) = 0

4. Conmutativa: (a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi)

Nos damos cuenta entonces, de que un número complejo puede ser representado por una dupla de números complejos es decir:

z = (a + ib) ↔ z = (a; b), tal como los vectores, Por ejemplo: V=(v1,v2)

Diferencias:

División de números complejos:

Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).

Multiplicación de números complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que i2=-1

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) • (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) • ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

Multiplicación de números complejos en forma polar

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

645° • 315° = 1860°

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto escalar

Propiedades del producto escalar

1-Conmutativa

2-Asociativa

3-Distributiva

4-El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

4. Escribe la fórmula usando variable compleja ( Z ∈ C ) y representa en el plano complejo las siguientes regiones:

i. Circunferencia de radio 5 y centro el origen.

ii. Circunferencia de radio 7 y centro 3 -2i.

iii. Disco cerrado de radio 5 y centro 3 + 2i.

iv. Corona abierta de radios 5 y 7 y centro 3 + 2i.

En el plano complejo, dado un número complejo a ∈ C y un número real r ∈ R el conjunto z de puntos que satisface |z-a| = r es una circunferencia.

i. Circunferencia de radio 5 y centro el origen.

|z| = 5

Sea Z= x +yi ; |z|=√(x^2+y^2 ) =5 → x^2+y^2= 25

ii. Circunferencia de radio 7 y centro 3 -2i.

|z-(3+2i)|=7 → (x - 3)² + (y + 2)² = 49

Gráfico de los puntos i e ii, realizado con Geogebra.

iii. Disco cerrado de radio 5 y centro 3 + 2i.

Este conjunto (disco unidad cerrado) puede identificarse con todos los números complejos cuyo valor absoluto es menor o igual que uno. Cuando se representa como subconjunto del plano complejo (C), el disco unidad frecuentemente se designa simplemente como D.

|z-(3+2i)|=5

Gráfico del punto iv, realizado con Geogebra.

iv. Corona abierta de radios 5 y 7 y centro 3 + 2i.

|z-(3+2i)|=7

|z-(3+2i)|=5

Gráfico del punto iv, realizado con Geogebra.

5- Explica cómo puede obtenerse el resultado de una multiplicación de números complejos en forma gráfica, usando las transformaciones de homotecia y rotación en el plano. Ejemplifica usando el Geogebra.

Para poder realizar esta consigna consideramos necesario explicar los conceptos que se van a aplicar.

La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

Alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura.

Centro de un segmento, la imagen del baricentro (punto a partir del cual todas las rectas que pasen generarán un corte a la forma geométrica en dos partes iguales)es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']

La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.

Paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas.

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