Ciencia de Materiales UGTO INTRODUCCION

M´etodos Matem´aticos II

Dr. David Del´epine 1

Instituto de F´isica de la Universidad de Guanajuato

Loma del Bosque, N 103

Col. Lomas del Campestre

CP-37150 L´eon, Gto

Agosto 23, 2004

1email: delepine@fisica.ugto.mx; tel: ext. 8424

2

Contenido

1 Introducci´on 7

2 Nociones de geometr´ia diferencial y vectorial. 9

2.1 Propiedades tensoriales del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Gradiente, rotacional y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Identidades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 C´alcul´o en coordenadas no-cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.2 Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.3 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.4 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Ecuaciones diferenciales parciales lineales de la f´isica cl´asica 21

3.1 La cuerda vibrante y sus generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Ecuaci´on de Laplace y sus generalizaciones . . . . . . . . . . . . 24

4 Series e integrales de Fourier 27

4.1 Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Motivaciones: principio de superposici´on . . . . . . . . . . 27

4.2 Aproximaci´on en media cuadr´atica sobre un dominio acotado . . 28

4.2.1 Forma equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Convergencia puntual de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Integrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.1 La transformaci´on de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.2 Teorema de convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.3 Significaci´on intuitiva de la transformaci´on de Fourier: la

”funci´on” ± de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.4 Lema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4

5 Clasificaci´on de las ecuaciones y condiciones de unicidad de las

soluciones 43

5.1 Clasificaci´on de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Condici´on de unicidad de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.1 Ecuaciones hiperb´olicas, condiciones de Cauchy . . . . . . 46

5.2.2 ecuaciones parabolicas: condiciones de frontera . . . . . . 50

5.2.3 ecuaci´on de Laplace, funciones arm´onicas . . . . . . . . . 54

5.3 Propiedades de las funciones arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.1 Primera propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.2 Segunda propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.3 Tercera propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4 Ecuaci´on de Poisson y funciones de Green del Laplaciano . . . . 59

5.4.1 Noci´on de funci´on de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4.2 Ecuaci´on de Poisson en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4.3 Ecuaci´on de Poisson en un dominio ­ . . . . . . . . . . . 63

6 Resoluci´on de las ecuaciones 67

6.1 Sistemas acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1.1 Caso hiperb´olico: la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . 67

6.1.2 Caso parab´olico: difusi´on del calor . . . . . . . . . . . . . 70

6.1.3 Caso el´iptico: ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.4 Resoluci´on general de la ecuaci´on de las ondas . . . . . . 73

6.2 Sistemas no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1 Propagaci´on de una onda sin o con dispersi´on . . . . . . . 77

6.2.2 Ejemplo de fen´omeno de dispersi´on . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.3 Forma general de las ondas progresivas . . . . . . . . . . . 81

6.2.4 Ejemplo: difusi´on del calor sobre una barra infinita . . . . 83

7 M´etodos diversos de resoluci´on de ecuaciones diferenciales. 85

7.1 M´etodo de Wronsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.1.1 Caso homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.1.2 Propiedades del Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.1.3 Caso inhomog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.1.4 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2 Transformaci´on integral sobre un dominio infinito . . . . . . . . 88

7.2.1 Transformaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.2 Transformaci´on de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3 M´etodo de la funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8 Geometr´ia y separaci´on de variables 97

8.1 Ecuaci´on de Helmoltz en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . 99

8.2 Ecuaci´on de Helmoltz en coordenadas cil´indricas . . . . . . . . . 100

8.3 Ecuaci´on de Helmoltz en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . 100

5

9 Espacio de Hilbert 103

9.1 El problema de la aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.2 Realizaci´on y propiedades elementales del espacio de Hilbert . . . 106

9.3 Sobre-espacios Hilbertianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.4 Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10 Polinomios ortogonales sobre un int´ervalo finito: polinomios de

Legendre 113

10.1 Polinomios ortogonales sobre un int´ervalo finito . . . . . . . . . . 113

10.2 Construcci´on de los polinomos de Legendre . . . . . . . . . . . . 116

10.3 La f´ormula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.4 La ecuaci´on diferencial de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.5 La funci´on de generaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

10.6 Relaci´on de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11 Polinomios ortogonales sobre R: polinomios d’Hermite 127

11.1 Funciones y polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

11.2 Aplicaciones de las funciones de Hermite . . . . . . . . . . . . . . 134

11.2.1 Ejemplo: aplicaci´on en mec´nica cu´antica: el oscillator

arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

12 Polinomios ortogonales sobre R+: polinomios de Laguerre 137

12.1 Los polinomios de Laguerre ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . 137

12.2 Los polinomios de Laguerre asociados . . . . . . . . . . . . . . . 139

12.3 Aplicaci´on al ´atomo de Hidr´ogeno en mec´anica cu´antica . . . . . 140

13 Teor´ia general de los polinomios ortogonales 143

14 Ejercicios 147

15 Bibliografia 161

6

Capitulo 1

Introducci´on

Las ecuaciones diferenciales parciales son de uso cotidiano para los f´isicos como

por los ingenieros y sin importa cual es su especialidad. El tema de este curso es

de dar el herramienta matem´atico para poder resolver las ecuaciones lineales las

m´as comunes de la f´isica cl´asica y cu´antica. As´i este curso es primero un curso

de matem´aticas pero como su destino son estudiantes en f´isica o ingeniera en

f´isica, tratamos siempre de ver las aplicaciones en f´isica cl´asica o cu´antica de los

diferentes m´etodos matem´aticos que vamos a estudiar al largo de este semestre.

El objectivo que los estudientes tienen que poder complir al fin des este

curso es de poder resolver cualquier tipo de ecuaciones diferenciales lineales

mas comunes o mismo si todavia no conocen algunas funciones especiales como

funciones de Bessel o arm´onicas esf´ericas para llegar a la soluci´on final de la

ecuaci´on diferencial, saber cual metodo usar para simplificar el problema y en

muchas veces poder llegar al resultado final.

El tema de este curso va de la clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales

parciales a la determinaci´on de las condiciones de unicidad de la soluci´on y

resoluci´on de esas ecuaciones diferenciales, de algunas transformadas integrales

(las m´as utiles por la resoluci´on de ecuaciones diferenciales parciales) tal que

transformaci´on de Fourier y de Laplace hasta los polinomios ortogonales (Legendre,

Hermite y Laguerre). La parte que no esta incluida en este curso es la

parte funciones especiales como arm´onicas esf´ericas o funciones de Bessel. Esas

funciones especiales y su uso en la resoluci´on de las ecuaciones diferenciales

parciales es el tema del curso de m´etodos matem´aticos III.

La secci´on 2 es para recordar las propriedades de geometr´ia vectorial y diferencial

necesarias

...