Linealidad

Definición de linealidad.

Se dice que un sistema es lineal, cuando cumple con los dos criterios siguientes:

1. Si una entrada X al sistema produce una salida X , entonces una entrada 2X producirá una salida 2X. En otras palabras, la magnitud de la salida del sistema es proporcional a la magnitud de la entrada del sistema.

2. Si una entrada X produce una salida X, y una entrada Y produce una salida Y, entonces una entrada X+Y producirá X+Y. En otras palabras, el sistema maneja dos entradas simultáneas de manera independiente y esas no interactuan en el sistema. Esos criterios implican el hecho que un sistema lineal no producirá frecuencias de salida, que no esten presentes en la entrada.

Observen que no hay nada en estos criterios que diga que la salida del sistema es la misma que la entrada, o que la salida se parece a la entrada. Por ejemplo la entrada podrìa ser una corriente eléctrica y la salida podria ser una temperatura. En el caso de estructuras mecánicas como máquinas consideraremos la entrada como una fuerza vibratoria y la salida como la vibración medida.

Función lineal

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En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.

En primer lugar, dentro de la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = m x + b \,

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = m x mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = m x + b cuando b es distinto de cero.

Contenido

1 Ejemplo

2 Funciones lineales de varias variables

3 Véase también

4 Referencias bibliográficas

Ejemplo

FuncionLineal03.svg

Una función lineal de una única variable dependiente x suele escribirse en la forma siguiente

y = m x + b \,

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y = 0,5 {x} + 2 \,

en esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2

En la ecuación:

y = -{x} + 5 \,

la pendiente de la recta, el parámetro m= -1, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.

En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

m = \tan \theta \,

Funciones lineales de varias variables

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