2.1 Probabilidad

U N I D A D 2

Fundamentos de Probabilidad.

2.1. Conjuntos y técnicas de conteo.

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra E.

Ejemplos:

Experimento: Se lanza una moneda.

Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento).

E= { s, a }

DEFINICION DE EVENTO

Punto muestral Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio

Evento. Cualquier característica observada del resultado de un experimento.

El evento es aleatorio si como resultado del experimento puede ocurrir o no ocurrir.

Los eventos pueden ser:

Evento Simple. Es aquel que tienen un solo punto muestral.

Evento Compuesto. Son aquellos que tienen dos o más puntos muestrales.

Ejemplo.

Lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E= {1, 2, 3, 4, 5, 6 } y #E=6

los puntos muestrales son {1},{2},{3}, {4},{5},{6}

Al número de puntos muestrales de E se le representa por #E

Los eventos se denotan normalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ...

A, B, C son subconjuntos de E, esto es,

A, B, CÌ E

Los eventos son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento.

Los Eventos aleatorios aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades:

Evento seguro.- Se verifica después del experimento aleatorio, si los resultados son los mismos del espacio muestral.

E = A y #E = #A

Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio.

No tiene elementos de interés para su fenómeno.

Sin embargo es un subconjunto de E y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío.

f Ì E y No tiene elementos

Ejemplo:

Experimento: Se lanza una moneda tres veces.

Espacio Muestral:

E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A), (S,A,A), (A,A,A) },

#E= 8, E es el evento seguro.

Evento simple:

B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , #B = 1

Evento compuesto:

E: Que salgan al menos dos soles;

E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, #E = 4

Conjunto potencia

Si un espacio muestral contiene n puntos muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o eventos

( se le conoce como conjunto potencia ).

Por tanto para el ejemplo anterior existen:

28 = 256, eventos posibles.

Para el caso del experimento: se tira una moneda,

el espacio muestral es de 2 puntos muestrales

E = {A, S},

por lo que se tienen 22 = 4 subconjuntos

y el conjunto potencia esta dado por: {A,S}, {A}, {S}, f

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos son subconjuntos del espacio muestral E, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION

UNIO N A È B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden

INTERSECCION A Ç B Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.

DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn.

Sea E el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B Ì E gráficamente se puede expresar como:

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes:

1. cuando los eventos son mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en común)

2. cuando entre los eventos hay elementos comunes.

Definición.-Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A Ç B = Æ, lo que ocurre en la fig. 1.

Experimento:

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