ADA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE INGENIERÍA

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS

Curso Marzo – Julio 2021

Alumno: Roger Manuel Medina Caro

Profesora: Dra. Caridad Vales Pinzón

Fecha de entrega: Julio 05, 2021

Introducción

A lo largo del curso de ‘Cálculo diferencial e integral II’ logré comprender y adquirir conocimientos de nuevos temas en los cuales se pueden aplicar conceptos de ‘Cálculo I’; a lo largo de la asignatura, se tuvo tres unidades, las cuáles abarcaban temas en específico, desde la unidad uno, comenzando con planos y rectas en el espacio, la unidad dos con límites y funciones de varias variables, la unidad tres con múltiples derivadas y finalmente la unidad cuatro con integrales múltiples, en el trayecto de estás cuatro unidades se puede contemplar la importancia de cada una pues es requisito entender, comprender y saber aplicar los temas anteriores para poder seguir avanzando ya que cada tema tiene una presencia en todas las unidades de manera escalonada, las tres unidades tienen un gran impacto en la materia y se complementan entre sí para el análisis de figuras en 3D.

La asignatura es bastante esencial, los temas que maneja son herramientas que bien pueden ser útiles en distintas áreas y tener muchas aplicaciones en la ingeniería, son distintas las herramientas y conocimientos que se desarrollan a lo largo de este transcurso lo cual logra ser de ayuda pues algunos conocimientos adquiridos en estas tres unidades pueden tener un gran impacto más adelante en otra área. Mediante la elaboración de actividades y ejercicios, se logra un mejor análisis del para que pueden servir estas herramientas desde un punto de vista aplicativo.

La importancia de esta asignatura en mi formación académica considero que bastante alta, pues al cursar la asignatura y hacer los ejercicios y ejemplos, logré apreciar las áreas en las que puede ser útil este tipo de cálculos, las herramientas que proporcionan para estimar y calcular en distintas áreas. Desde mi punto de vista considero la asignatura como una de las más importantes a lo largo de la formación académica en la ingeniería pues es una materia que te proporcionará herramientas y enseñará como utilizarlas para continuarte desempeñando en las demás asignaturas, esto debido a que los temas vistos son retomados como herramientas aplicando temas más adelante.

Ejercicios

Ejercicio 1. Dada g (x, y) =  determine: [pic 3]

•El dominio y rango de la función, y presente la gráfica detallada del dominio.

Para el dominio de la función:

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Despejando obtenemos:

 [pic 5]

Sin tener más restricciones el dominio queda de la siguiente manera:

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Para el rango de la función sabemos que la raíz siempre será positiva al tener una suma de dos numeros al cuadrado, por ende sin importar que un número sea negativo o positivo siempre tendremos un valor positivo de denominador, sin embargo el numerador si podría llegar a tener un valor negativo, positivo o incluso cero, por lo que se concluye que:

 El rango existe para todos los numeros reales. [pic 7]

Gráfica:

Se puede observar de mejor manera el dominio y el rango en la siguiente gráfica, donde tenemos que no está límitada en niguna región de Z y se pude observar como en el dominio no pasa por ciertos puntos:

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Ilustración 1. Gráfica Ejercicio 1. Función

•El límite de la función en el punto (0,0), demuestre si este existe o no.

-Para    [pic 9]

Resolvemos sustituyendo los valores:

      por lo que nos da indeterminado y concluimos que el límite no existe.[pic 10][pic 11][pic 12]

Por lo que se considera una forma de aproximarse a (0,0), hacemos:

y=0            [pic 13][pic 14]

x=0             [pic 15][pic 16]

Concluyendo finalmente que el límite no existe para (0,0).

•Si la función es diferenciable en el punto (3,4). Demostrarlo. 

Para saber si es diferenciable primero tenemos que analizar la continuidad,

Hacemos  para determinar si es continua o no la función.[pic 17]

       [pic 18]

Observamos que el límite al final depende de m por lo que la función no es continua.

Por definición para que una función sea diferenciable debe ser continua por lo que concluimos que la función no es diferenciable en el punto (3,4).

 •Analice la continuidad de la función.  La función g (x, y) =   [pic 19]

En el punto (0,0) no está definida y no tiene límite en (0,0) por lo tanto no hay continuidad en el punto (0,0).

En el punto (3,4) si está definida por  . Si analizamos el límite nos da , analizamos de otra forma haciendo y=mx.[pic 20][pic 21]

    =    Nos da indeterminado por lo que el límite no existe, y por ende no hay continuidad en el punto (3,4).     [pic 22][pic 23][pic 24]

•La ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto ( )(NOTA: Antes de resolver el ejercicio deberás obtener el punto en coordenadas rectangulares).[pic 25]

Comenzamos pasando las coordenadas polares a rectangulares:

De acuerdo a la información tenemos:

  ,  [pic 26][pic 27]

Por coordenadas esféricas sabemos:

[pic 28]

Entonces sustituimos los valores y nos queda que para:[pic 29]

  [pic 30]

Ahora buscamos la ecuación del plano tangente aplicando derivadas y mediante la siguiente fórmula:

[pic 31]

Despejamos la función para que incluya a Z:

g (x, y) =0 =[pic 32][pic 33]

Primero encontramos las derivadas:

 [pic 34]

Ahora sustituimos los valores en la ecuación 1 y resolvemos.         

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