Cálculo diferencial e integral

Cálculo diferencial e integral

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

UNIDAD I. FUNCIONES Y RELACIONES

1.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Las funciones pueden clasificarse como inyectivas, suprayectivas y

biyectivas; para entenderlo debemos recordar las definiciones de

domino, imagen, codomino, variable dependiente y variable

independiente, lo haremos con el siguiente ejemplo:

Sea el conjunto A ={1, 2, 3}

Le aplicamos la función: f(x) = x + 1

Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5}

Es decir:

A f(x) = x +1 B

1 2

2 3

3 4

5

Al conjunto A se llama dominio de la función.

Al conjunto B se llama codominio de la función.

A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) A se les llama imagen

o rango (en este ejemplo el codomino y la imagen NO tienen los

mismos elementos).

y = f (x): variable dependiente.

x: variable independiente.

NOTA: La función del ejemplo anterior también lo podemos indicar en

definiendo los conjuntos A y B; y posteriormente definir la función; es

decir:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 3, 4, 5}

f = {(1,2), (2,3), (3,4)}

Inyectiva. Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o

imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.

Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}

Es decir, gráficamente queda:

Nótese que cada elemento del

conjunto B recibe solamente una línea.

ENTONCES ES INYECTIVA.

Ejemplo 2. Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,2)}

(solo se cambio el número indicado en

rojo) Gráficamente queda:

Hay un elemento de B (el número 2) que

recibe dos flechas o líneas, por lo tanto

NO ES INYECTIVA.

Ejemplo 3. Para la siguiente función: f(x) = y = x-1

A cada elemento del domino se

le relaciona en la función con

UN elemento de la imagen, por

lo tanto ES INYECTIVA.

NOTA: El domino y la imagen

son todos los reales:

D = ℝ

I = ℝCálculo diferencial e integral

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Ejemplo 4. Si la función fuera f(x) = x

2

. Estaríamos graficando una

parábola, como la que se muestra a continuación:

Hay elementos en el domino que

se le asigna el mismo valor de la

imagen; por ejemplo la pareja de

valores P1(2,4) tiene el mismo

valor de la imagen 4; que el

punto P2(-2,4). Por lo tanto la

...