APLICACIONES A LA ECONOMÍA

APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Función costo.

En el caso de la función costo total Q(x) no se puede encontrar un valor mínimo en el primer cuadrante, ya que al ser creciente y no negativa entonces su primera derivada también es no negativa y, por tanto, no se anula en un valor positivo para x: Es necesario encontrar una relación entre el costo promedio y el costo marginal, que nos ayude a determinar la producción del mayor número de unidades, de manera que éstas se produzcan con un costo por unidad mínimo; por lo anterior surge la siguiente Propiedad Si una función costo es estrictamente creciente, positiva y convexa, entonces el costo marginal Q0(x) es igual al costo promedio q(x) en un punto x en el cual q(x) es mínimo, es decir ,en donde se produce un costo por unidad mínimo.

Demostración :

La función costo total se representa por

Q(x);

la función costo promedio (costo por unidad) se representa por

q(x) =

Q(x)

x

;

y la función costo marginal se representa por

dQ(x)

dx

= Q0(x):

Es claro que la derivada de la función costo promedio se anula si y sólo si,

Q(x)

x

= Q0(x):

Por lo que hay un punto crítico en donde q(x) = Q0(x).

Es fácil veri…car que

d2q(x)

dx2 =

x3Q00(x)

x4 =

Q00(x)

x

> 0;

basándose en que xQ0(x) = Q(x):

Ahora, como x > 0 y Q00(x) > 0 por hipótesis, entonces existe un mínimo en el punto en

donde el costo marginal y el costo promedio son iguales, es decir, las curvas del costo marginal

y del costo promedio se cortan en el punto mínimo del costo promedio.¥

ejemplo:

El costo total de la producción de x unidades de cierto producto se describe por medio de

la función Q(x) = 100; 000 + 1; 500x +0:2x2; donde Q(x) representa el costo total, expresado

en pesos.

a) Determinar cuántas unidades x deberán de fabricarse a …n de minimizar el costo promedio

por unidad.

b) Demostrar que el costo promedio y el costo marginal son iguales en ese punto.

c) Gra…car la función costo promedio y la función costo marginal.

Solución:

El costo promedio está dado por q(x) = 100;00x +1;500+ 0:2x

y la derivada del costo promedio por

q0(x) = ¡

100; 000

x2 + 0:2;

así, q0(x) es igual a cero, si y sólo si,

x = §707:11 productos,

pero como x representa producción entonces se considera solamente x = 707:11; como punto crítico.

Ahora la segunda derivada del costo promedio es

q00(x) =

200; 000

x3 ;

y al sustituir el valor de x; en esta expresión, se tiene que,

q00(707:11) = 0:0005659 > 0;

por tanto, existe un costo promedio mínimo cuando se produce 707.11 unidades y, así, el costo por unidad es q(707:11) = 1;782:84 pesos

es decir, el costo promedio mínimo es igual a $1,782.84 cuando se produce 707.11 unidades.

b) La función costo total está dada por

Q(x) = 100;000+ 1;500x +0:2x2;

y la función costo marginal por

Q0(x) = 1; 500 +0:4x;

y, así, el costo marginal en 707.11 es igual a

Q0(707:11) = 1; 782:84 pesos;

por tanto, el costo marginal es igual al costo promedio en el punto x = 707.11, es decir, Q0(707:11) = q(707:11):

En la práctica se toma el valor de x =707 unidades ya que no se produce partes de unidades

.

c) La grá…ca siguiente muestra el resultado anterior.

1,782.84

3.1.2 Función ingreso.

En el caso de las funciones ingreso, sí se puede determinar el ingresomáximo esperado, utilizando directamente la función ingreso total como lo muestran los siguientes

...