Algebra Lineal

Sustancias que funcionan como superproteínas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.

Instrucciones:

Lee los problemas que se te presentan y al final efectúa lo que se te pide.

Problema 1

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una superproteína en un tipo especial de microrganismos que habita cerca de una zona petrolera.

El objetivo es hacer dichos microrganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la investigación, se presentaron muchas dificultades, se tenían previstos tres proyectos diferentes, los cuales resultaron en un rotundo fracaso.

En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al realizar las pruebas con dichas sustancias, estas no mejoraron a los microrganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio.

Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era producto de un accidente científico.

Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto, con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.

Después de esto, todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de su respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y de esta manera encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las siguientes pruebas.

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, obteniendo 12 litros.

Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

• Integra, en este archivo la solución que diste al problema por el método de Gauss-Jordan.

• Incluye los determinantes que obtuvieron en la actividad Regla de Cramer.

• Utiliza el método de Cramer para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.

• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Método de Gauss – Jordan:

Sistema de ecuaciones lineales:

Accidente y su repetición: 1) 6x + 9y + 7z = m

Prueba 1: 2) 2x + 2y + z = 4.5

Prueba 2: 3) 4x + 6y + 3z = 12

Al ser estas ecuaciones un sistema que representan a un solo vector tiene infinitas soluciones, por ello a “m” se le asignará un valor arbitrario de 20, quedando:

Accidente y su repetición: 1) 6x + 9y + 7z = 20

Prueba 1: 2) 2x + 2y + z = 4.5

Prueba 2: 3) 4x + 6y + 3z = 12

Sustitución:

A= 221463697 B=4.51220 → AB=2214636974.51220

Desarrollo:

2214636974.51220-3R1+ R3→R3 2214630344.5126.5 -2R1+ R2→R2 2210210344.536.5

-R2+ R3→R3 2210210134.533.5 12R2→R2 22101120134.5323.5 -R2+ R3→R3 221011200524.53221

25R3→R3 22101120014.53245 12R1→R1 11120112001943245 = 110.5010.50012.251.50.8 -R2+ R1→R1

100010.50010.751.50.8 -0.5R3+ R2→R2 1000100010.751.10.8

Resultados:

x=0.75 litros de la primera sustancia.

y=1.1 litros de la segunda sustancia

z=0.80 litros de la tercera sustancia

Comprobación:

Por medio de la sustitución en alguna ecuación, en este caso ecuaciones; 1, 2 y 3.

1) 6x + 9y + 7z = 20 →60.75+91.1+70.8=20

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