Algebra Lineal

Problema: Sustancias que funcionan como super proteínas a través de matrices

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo)

se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss. Después,

Representación matricial

2x + 2y + z = 4.5 2 2 1 4.5

4x +6y + 3z = 12 4 6 3 12

6x + 9y +7z = 16.5 6 9 7 16.5

Basándose en esto es posible encontrar la solución al problema. Basta incluso con asignar un valor arbitrario a m el cuál es nuestro parámetro (recipiente de las 3 sustancias) o despejando incógnitas (16.5 será el valor asignado el cual es la suma de 4.5 +12)

2X+2y+Z=4.5

4x+6y+3Z=12

6x+9y+7z=16.5

Despejando Z=4.5-2x-2y

Método Algebraico de Sustitución de Ecuaciones.

4x+6y+3(4.5-2x-2y) =12------------- 4x+6y+13.5-6x-6y=12----------

-2x =12-13.5 = x-1.5/- 2

X = 0.75

9y = 16.5-6(.75)-7(4.5-2x-2y) ----9y=16.5-4.5-31.5+14(.75)+14y------ 9y-14y=-9 y= -9/-5 Y = 1.8

Z=4.5-1.5-3.6 Z= -0.6

Sustituyendo los valores, observamos que concuerdan con el sistema de ecuaciones planteado.

El método para comprobar el resultado es sustituyendo los valores encontrados para(x, y, Z) en las 3 ecuaciones, estas deben dar el resultado de las 2 primeras ecuaciones.

2(.75)+2(1.8)+ (-0.6)= 4.5

4(.75)+6(1.8)+3(-0.6)=12

6(.75)+9(1.8)+7(-0.6)=16.5

Método de Gauss

2

2

1

4.5 R1/2

4 6 3 12

6 9 7 16.5

1 1 0.5

2.25

4 6 3 12 : -R41+R2 = R2

6 9 7 16.5 : -6R1+R3 = R3

1 1 0.5

2.25

0 2 1 3 R2/2 = R2

0 3 4 3

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