Análisis Combinatorio

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CHIHUAHUA

FACULTAD DE INGENIERIA

ALGEBRA SUPERIOR

Modalidad Virtual

ANALISIS COMBINATORIO

Profesor: Gilberto Wenglas Lara

Alumno: Sergio Adrián Valenzuela García

Matricula: 285149

Parte 1

Teorema Fundamental

Principio de multiplicación

Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas, otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento "A" seguido de "B", ocurre de " m n " maneras.

Observaciones:

* En este principio, la ocurrencia es uno a continuación del otro, es decir, ocurre el evento "A" y luego ocurre el evento

"B".

Ejemplo:

Una persona puede viajar de "A" a "B" de 3 formas y de "B" a "C" de 2 formas, ¿De cuántas maneras distintas puede ir de "A" a "C" pasando por "B" y sin retroceder?

3.2=12

http://www.texla.pe/emc2/images/stories/material-con-claves/RM/ANALIISIS-COMBINA-16.pdf

Notación factorial

Se define como factorial de un número natural n al producto de n por todos los números que le preceden. Se denota mediante n!:

n!=1(2)(3)(4) ⋅⋅⋅ (n −1)(n)

Por definición, el factorial de cero es uno: !0 ≡1

El factorial de un número crece de forma muy considerable.

Ejemplos:

3! =1(2)(3) = 6

5! =1(2)(3)(4)(5) =120

8! =1(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) = 40,320

14!=1(2)(3)(4) ⋅⋅⋅ (13)(14) = 87,178'291,200

http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/37.%20Analisis%20Combinatorio.pdf

Variaciones u Ordenaciones de n objetos tomados de r en r

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Ejemplo:

¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5n = 3 m ≥ n

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

http://www.vitutor.com/pro/1/a_2.html

Permutaciones

Permutaciones de m objetos

Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Ejemplo:

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

Permutaciones Circulares

Es un caso particular de las permutaciones.

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Ejemplo:

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Permutaciones con elementos repetidos

Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...

n = a + b + c + ...

Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que :

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Ejemplo:

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

...