PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.

MATERIA: APLICACIONES DE MATEMATICAS DISCRETAS.

CARRERA: INFORMATICA.

PROFESOR: NESTOR REYES GONZÁLEZ

Principio fundamental de conteo:

1.- En un consejo de administración de una compañía hay veinte miembros igualmente talentosos. ¿De cuantas maneras se puede elegir un presidente y un vicepresidente del consejo?

20 presidentes, 19 vicepresidentes

20x19=380

2.- Un estudiante debe tener un curso de matemáticas, un curso de español, un curso de historia y un curso de ingles. Si en su escuela se ofrecen dos cursos de matemáticas, cuatro cursos de español, tres cursos de historia y tres de ingles. ¿Cuántos programas de estudio distintos hay?

2x4x3x3=72

3.- ¿En cuántos órdenes diferentes pueden terminar una carrera de cinco caballos?

5x4x3x2x1=120

4.-Tres estudiantes de matemáticas y tres estudiantes de español tienen examen final. Deben ser sentados en seis escritorios de tal manera que no hay dos estudiantes de matemáticas sentados uno al lado del otro. ¿de cuantas maneras puede hacerse esto si los escritorios están en una sola fila.

3x3x2x2x1x1=36

5.- En una baraja ordinaria hay 52 cartas.

a) ¿De cuantas maneras se puede sacar 2 cartas de la baraja si se regresa la primera carta a la baraja?

b) ¿de cuantas maneras se puede sacar 2 cartas de la baraja si no se regresa la primera carta a la baraja?

Permutaciones.

1.- ¿De cuantas maneras pueden cuatro laboratorios farmacéuticos apoyar cada uno un proyecto de entre nueve que se han presentado para ser considerados?

2.- ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

3.-

a) ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)

b) ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

4.- ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, No es posible repetir dígitos.

5.- ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?

6.- ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no se permite la repetición?

7.- Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores. ¿Cuántos diferentes equipos de cinco jugadores puede formar?

Combinaciones.

1.- ¿De cuantas maneras se puede elegir a dos de cincuenta empleados con igual merito para otorgarle un aumento salarial de $500?

2.- Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos.

3.- Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos.

4.- En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?

5.- ¿Cuántos comités diferentes de seis personas pueden formarse?

a) Si cada comité debe tener tres mujeres de un conjunto disponible de veinte mujeres,

b) Cuatro hombres de un conjunto disponible de treinta hombres.

INVESTIGACION:

Investiga todo lo concerniente al triangulo de pascal referente al tema de combinaciones y entrégalo en hojas blancas y a computadora, resumido con caratula para entregar.

NOTA: Ambos trabajos se entregaran en un folder color azul y con su respectiva caratula.

Las permutaciones son operaciones contiguas que se van multiplicando hasta el tope de la misma, es decir, hasta llegar al indice de la permutacion. En las permutaciones nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

ejemplo:

(!=factorial)

n!=1×2x3×4…..xn

5! (cinco factorial)=1×2x3×4x5=120

1! (uno factorial)=1

y se simplifica en una formula:

nPr= n!

----

(n-r)!

n= total de objetos

r=objetos tomados del total de objetos(n)….

Felipe de Jesus Torres Saucedo

ANEXO

1.4 Permutaciones By LUNA`s Chetumal

PERMUTACIONES.

Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.

COMBINACIÓN Y PERMUTACION.

COMBINACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

PERMUTACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.

Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).

Solución:

a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).

¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?

Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación:

CAMBIOS:

PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael Daniel

SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael

TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo

Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación?

Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.

A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.

n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x………..x n

Ejem.

10!=1 x 2 x 3 x 4 x………x 10=3,628,800

8!= 1 x 2 x 3 x 4 x………x 8=40,320

6!=1 x 2 x 3 x 4 x……….x 6=720, etc., etc.

Obtención de fórmula de permutaciones.

Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?

Solución:

Haciendo uso del principio multiplicativo,

14×13×12×11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso

Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.

Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.

14×13×12×11= n x (n - 1) x (n - 2) x ………. x (n – r + 1)

si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces

= n x (n –1 ) x (n – 2) x ……… x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!

= n!/ (n – r)!

Por tanto, la fórmula

...