Aplicaciones De Numeros Complejos

Instituto Tecnológico de Tijuana

Algebra Lineal

Ing. en Sistemas Computacionales

Inteligencia Artificial:

Aplicaciones de los números complejos

Jose Eduardo Gomez Cano

Luis Cerón

07 de Enero del 2013

Los números complejos tienen demasiadas aplicaciones relacionadas con las telecomunicaciones, la electrónica, la electricidad y la física. Pero un ejemplo que encontramos es sobre la simulación de biomorfos por medio de la computación. A continuación se explica esto.

Los experimentos de simulación de Pickover se inspiraron en los sorprendentes resultados observados por el matemático Gastón Julia durante el estudió de la ecuación z = z2 + c, siendo c una constante. Los resultados que tanto llamaron la atención de Julia tenían lugar bajo ciertas condiciones, en particular cuando z y la constante c eran números complejos. La expresión anterior significa que en la iteración t el valor z, situado a la izquierda de la expresión, es una función de su valor al cuadrado en la iteración anterior t – 1, es decir de z2 situado a la derecha de la expresión más el valor de la constante c. Por ejemplo, si inicialmente (t = 0) z = 2 y asignamos un valor de c = 5 tendremos que para t = 1 el valor z es igual a 9 ya que 22 + 5, en la iteración t = 2 la variable toma el valor z = 86, etc. Si los valores de z que obtenemos se hacen más grandes a cada iteración entonces la sucesión será divergente, siendo convergente si los valores de z se hacen más pequeños a medida que aumenta el número de iteraciones. Esto último es especialmente importante para nuestros propósitos porque si la sucesión de valores z es convergente, y además lo es entre valores suficientemente pequeños, entonces a sucesión de valores de z converge a un ciclo limite. Considerando de nuevo la expresión de partida, y teniendo en cuenta que z es un número complejo, es decir si llamamos x a la parte real e y a la parte imaginaria, entonces el número complejo z podrá ser expresado de acuerdo con la siguiente expresión:

z =x + iy

En otras palabras, dados los números reales x e y, el numero complejo z estará asociado con el punto (x,y) de un sistema de coordenadas XY ordinario. Asimismo, puesto que la constante c es también un número complejo, entonces:

c = m + in

A nivel computacional, los números complejos y la expresión de partida conducen a las siguientes expresiones:

Que serán las expresiones que utilicemos en el experimento de simulación. Un experimento de simulación basado en el modelo descrito consiste en fijar las condiciones iniciales, dadas por los valores m y n de los que dependerá la clase de forma biológica o biomorfo que obtendremos en la simulación. En el tiempo t = 0 comenzaremos por el punto (x,y) igual a (0,0), es decir el origen del sistema de coordenadas XY, obteniendo a partir de las expresiones computacionales indicadas más arriba los nuevos valores (x,y) para la iteración t = 1. Este proceso se repite una u otra vez, diciéndose cada vez que ha sido calculado un nuevo punto (x,y) si será o no representado en el plano complejo XY, de acuerdo con el siguiente criterio. Si el módulo de z, es decir mod(z), es inferior a un cierto valor umbral. El valor del módulo de z es igual a √x2 + y2 que geométricamente expresa la distancia entre el punto (x,y) y el origen de coordenadas (0,0) del plano complejo XY. El criterio anterior no es más que la condición de convergencia, definiendo el umbral 0 el número de iteraciones necesarias para alcanzar un atractor, cumpliéndose dicha condición cuando mod(z) es inferior al valor umbral especificado. Obsérvese que el modulo es un modo de estimar la magnitud de los valores que vamos obteniendo, y en consecuencia su convergencia. En la práctica, y en relación

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