Calculo.

.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

· Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0. Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor la cual satisface :

F(x0) P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fn)(x0) Pn(x)

Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0) (x − x0)2 +. . . . . . + 1/n! fn)(x0)(x − x0)n

· Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fn) son

continuas en [a, b] y fn)1Þ existe en (a, b).

Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x

en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que

f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)2 +. . . . 1/n! fn)(x0)(x−x0)n + Rn(x) donde Rn(x) 1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)n+1 y le llamaremos resto de Lagrange.

Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)

· Si f es una función n veces derivable en el punto x0 y Pn(x) es su polinomio de Taylor se cumple:

x→x0

lim f(x) – Pn(x)/

(x − x0)n = 0

Polinomios de Taylor de orden 1 y 2

de la función f(x) = exp x

Aplicación al cálculo aproximado de valores de una función

1. El Rn en el teorema de Taylor se puede usar para estimar el error al aproximar una función mediante su polinomio de Taylor.

Si el número n se fija de antemano, entonces se plantea la cuestión de la precisión de la aproximación. Si se especifica la precisión entonces la cuestión será encontrar un n adecuado.

2. La sustitución de una función por su polinomio de Taylor tiene validez local, es decir, la aproximación es buena en un entorno del punto.

3. La fórmula de Taylor también puede evaluarse si una función cumple los requisitos del teorema de Taylor en un intervalo [x, x0] teniendo en cuenta que, en ese caso, c pertenecería al intervalo(x, a).

Pertenece a: MDX (Materials Docents en Xarxa)

Descripción: Enginyeria informàtica. II26:

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