Cinematica

TEMA 3

CINEMÁTICA DEL PUNTO

Introducción

La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos haciendo abstracción de las causas que lo producen. Dicho de otra manera, se ocupa de describir las trayectorias. El movimiento más sencillo de estudiar es el de una partícula, que es un objeto de cuyo tamaño y estructura se prescinde ya sea porque realmente es muy pequeño o porque a la escala del problema planteado puede con-siderarse como tal: por ejemplo, la Tierra sería una partícula en los problemas referentes al movimiento planetario.

La posición de la partícula se espe-cifica asimilándola a un punto del espacio (por eso se dice que es un punto material) y dando su vector de posición r o lo que es lo mismo, sus tres coordenadas x , y , z.

Al transcurrir el tiempo la partícula va ocupando distintas posiciones, el conjunto de las cuales constituye la trayectoria del movi-miento, que será cierta curva del espacio r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Si el movimiento está limi-tado a un plano serán suficientes dos de estas funciones del tiempo para definir la trayectoria. Y cuando ésta es rectilínea, basta una sola, x(t) por ejemplo, si los ejes coordenados se toman en la dirección adecuada.

2. Curvatura y vector normal

Una curva cualquiera queda definida al expresar el vector de posición r de sus puntos como función de cierto parámetro. Para cada valor del parámetro se obtiene un punto P de la curva.

Figura 1

En particular, podemos utilizar como parámetro la longitud s del arco comprendido entre un punto fijo Po de la curva y P :

(1)

La derivada del vector r es tangente a la curva y vale:

(2)

El elemento de arco y su cuerda son infinitésimos equivalentes; es decir su cociente tiende a la unidad:

(3)

Así pues, la derivada de r(s) resulta ser igual al vector unitario tangente, T. Derivando por segunda vez:

(4)

Como T tiene módulo constante su de-rivada debe ser perpendicular al propio vector, por lo que dT/ds define la dirección normal a la curva. Si designamos por N al vector unitario:

(5)

Para calcular el módulo consideremos dos puntos P y Q de la trayectoria separados por un pequeño arco *s. Al desplazarse de un punto al otro, tanto el vector tangente como la dirección normal a la curva giran un mismo ángulo ** (figura 2).

*T = TQ - TP se obtiene trasladando TP al punto Q. Del triángulo resultante se deduce que en el límite, cuando *s * 0, el ángulo ** * |*T|/|T| = |*T| ya que el arco se aproxima a la cuerda. Por tanto:

(6)

Figura 2

El radio de curvatura * queda así defi-nido como la derivada del arco respecto del ángulo, ds/d* ; es decir, d* = ds/* , que es una ecuación similar a la que define el ángulo sub-tendido por un arco de circunferencia, * = s/r. En resumidas cuentas, cada elemento de la curva se puede considerar como un pequeño arco de circunferencia de radio *(s).

Sustituyendo el resultado anterior en la ecuación (5) tenemos:

(7)

3. Posición, velocidad, aceleración

Como ya se dijo en la introducción, la posición de una partícula respecto de cierto sistema de referencia se especifica mediante el vector r(t), que va del origen de coordenadas O a la posición P de la partícula.

En instantes sucesivos t , t' , t'' , ... el extremo del vector determina las posiciones del punto material P , P' , P'' , ... . Por tanto, r es una función del tiempo; en coordenadas car¬tesianas:

(8)

Figura 3

La trayectoria es la curva indicatriz del vector de posición; y x(t) , y(t) , z(t) son las ecuaciones paramétricas de la curva respecto al tiempo, que proporcionan las coordenadas cartesianas del punto en cada instante.

La velocidad es un concepto que da cuenta del cambio de posición de la partícula. Nos dice si ese cambio tiene lugar con mayor o menor rapidez y también la dirección en que se produce.

Figura 4

Si en un intervalo de tiempo t la par-tícula pasa de P a P', el vector de posición cambiara de r a r + r. El desplazamiento r representa el cambio de posición, no el espacio recorrido, ya que las trayectorias que llevan de P a P' pueden ser distintas. La velocidad media en el intervalo t se define como el despla¬zamiento por unidad de tiempo:

(9)

Es un vector con la misma dirección que r, por lo que nos indica hacia dónde se mueve la partícula, además de la rapidez del

desplazamiento. Pero se trata de un valor me-dio; no indica si durante todo el trayecto el punto ha ido igual de deprisa ni tampoco si se han producido o no cambios de dirección.

Consideremos, por ejemplo, t dividido en dos subintervalos t/2. El desplazamiento r será la suma de los desplazamientos res¬pectivos: r = r' + r''. La velocidad media se puede poner:

Es decir, vm es la media de las velo-cidades en los dos subintervalos. Tomando un intervalo de tiempo cada vez más pequeño lle-garemos a definir la velocidad instantánea, correspondiente a un solo punto o instante, ya que entonces P' * P:

(10)

En coordenadas cartesianas la deriva-da de r se expresa:

(11)

Figura 5

La velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en P , ya que la derivada de un vector respecto de su parámetro siempre es tangente a la curva indicatriz. Por tanto pode-mos escribir v como producto de su módulo por el vector unitario tangente:

(12)

Así pues, el módulo de v es la longitud de trayectoria recorrida por unidad de tiempo.

Representa la rapidez de la partícula, mientras que T indica la dirección del movimiento. En cartesianas, v es:

(13)

En general, la velocidad será distinta en cada punto de la trayectoria: es una función del tiempo. Por ello se introduce el concepto de aceleración como el cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

Figura 6

Si tomamos en consideración un inter-valo t, la velocidad instantánea se incrementa entre P y P' en v ; la aceleración media es:

(14)

La dirección de am es la misma que la de v . Naturalmente, al tomar intervalos cada vez más pequeños obtendríamos distintas ace-leraciones medias. Sin embargo la serie tiende hacia un valor que representa la aceleración de la partícula en el preciso instante en que pasa por P:

(15)

En coordenadas cartesianas, la acele-ración instantánea es:

(16)

Cuando la trayectoria es rectilínea, r(t), v(t) y a(t) se reducen a funciones escalares sin más que tomar uno de los ejes (por ejemplo el Ox) en la dirección del movimiento:

(17)

Es usual representar el movimiento en una dimensión mediante la gráfica x(t). En ella tenemos información sobre las posiciones que va ocupando la partícula y también sobre su velocidad, ya que la derivada de una función en un punto es la pendiente de su gráfica (es decir, la inclinación de la recta tangente a la curva en dicho punto). En este caso la deriva-da, dx/dt , es la velocidad.

Ejemplo 1 : La posición de una partícula en función del tiempo está representada en la gráfica de la figura. A partir de ella calcular la velocidad media en los intervalos (3 , 11) y (3 , 7) así como la velocidad instantánea en el punto t = 3.

Figura 7

Proyectando sobre el eje Ox leemos en la gráfica el valor de los incrementos x co-rrespondientes a los intervalos de tiempo del problema. La velocidad media será vm = x/*t:

Para calcular la velocidad instantánea se traza una recta tangente en el punto t = 3 y tomando dos puntos cualesquiera sobre ella se determina su pendiente, tg* = x/*t :

4. Componentes intrínsecas de la aceleración

El vector aceleración, que en general tendrá una dirección cualquiera, se puede ex-presar como suma de dos componentes: una, aT, tangente a la trayectoria y otra, aN , perpen-dicular a la misma:

(18)

Se denominan componentes intrínse¬cas de la aceleración. Para calcular su valor se parte de la ecuación (12), v = v•T y se deriva como un producto:

(19)

Teniendo en cuenta la ecuación (7) la derivada del vector unitario tangente es:

(20)

Sustituyendo en (19) resulta:

(21)

Por tanto las componentes intrínsecas son: aT = dv/dt y aN = v2/* . La aceleración tangencial es una medida del cambio de la ra-pidez del movimiento, pues sólo depende del módulo de la velocidad. La aceleración normal o centrípeta indica un cambio en la dirección de la partícula, asociado a la curvatura de la trayectoria.

En general, aT y aN serán no nulos. Como casos particulares

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