Colaborativo 2 Dinamica De Sistemas

Ejercicio 1: El control automático de la velocidad crucero es un excelente ejemplo de un sistema de control retroalimentado que se encuentra en muchos de los vehículos modernos. El propósito del sistema de control de la velocidad crucero es mantener una velocidad constante del vehículo a pesar de las perturbaciones externas, tales como cambios en el viento o en el tipo de carretera. Esto se logra mediante la medición de la velocidad del vehículo, comparándola con la velocidad deseada o de referencia, y ajustando automáticamente el acelerador de acuerdo con una ley de control:

Considere aquí un modelo simple de la dinámica del vehículo, que se muestra en el diagrama de cuerpo libre (FBD) anterior. El vehículo, de masa m, se mueve por una fuerza de control u. La fuerza u representa la fuerza generada en la interface carretera/llanta. Para este modelo simplificado suponga que puede controlar esta fuerza directamente y desprecie la dinámica del motor, neumáticos, etc., que intervienen en la generación de la fuerza. Las fuerzas resistivas, motor, debido a la resistencia a la rodadura y a la resistencia al viento, se suponen que varían linealmente con la velocidad del vehículo v, y actúan en la dirección opuesta al movimiento del vehículo. De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que la entrada al sistema es la fuerza u, y la salida es la velocidad v, encuentre (a) la representación del sistema en espacio de estado, y (b) la representación del sistema en función de transferencia.

Planteemos el problema de acuerdo a las leyes que rigen el sistema mecánico.

ma=u(t)-bv(t) Aplicando la segunda ley de newton.

m dv(t)/dt +b v(t)= u(t) Ya que a=dv(t)/dt=(d^2 x)/(dt^2 )

1/m (m dv(t)/dt +b v(t))=1/m u(t) Multiplicamos por 1/m en ambos lados

la representación del sistema en espacio de estado

dv(t)/dt=[-b/m]v(t)+[1/m]u(t) Ecu.1

y(t)=[1] v(t)+[0]u(t) Ecu.2

A=[-b/m] ; B=[1/m]; C=[1]; D=[0]

Sabemos que

x^'=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

Y(s)/U(s) =C(sI-A)^(-1) B+D

la representación del sistema en función de transferencia.

Y(s)/U(s) =[1] (s[1]-[-b/m])^(-1) [1/m]+[0] Sustituimos los valores en la ecuación

Y(s)/U(s) =(s+[b/m])^(-1) [1/m] Realizamos operaciones

Y(s)/U(s) =1/m(s+[b/m]) Multiplicamos

Y(s)/U(s) =1/(ms+b)

Ejercicio 2: Un actuador común en los sistemas de control es el motor DC. Este provee directamente movimiento rotatorio y, junto con las ruedas o tambores y cables, puede proporcionar un movimiento de traslación. El circuito eléctrico equivalente de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestra en la siguiente figura:

Suponga que la entrada del sistema es la fuente de voltaje v, aplicada a la armadura del motor, mientras que la salida es la velocidad de rotación del eje ω. El rotor y el eje se suponen rígidos. Suponga además un modelo de fricción viscosa, es decir, el torque de fricción es proporcional a la velocidad angular del eje.

Los parámetros a tener en cuenta son:

J: Momento de inercia del rotor

b: Constante de fricción viscosa del motor

K_e: Constante de fuerza electromotriz

K_τ : Constante de torque del motor

R: Resistencia eléctrica

L: Inductancia eléctrica

De acuerdo con lo anterior, encuentre (a) la representación del sistema en espacio de estado, y (b) la representación del sistema en función de transferencia.

T(t)=K_τ i(t) Torque del motor

e_fce=K_e ω Fuerza contra electromotriz

K_e=K_τ

Tenemos que dividir el circuito en dos sistemas, uno mecánico y el otro eléctrico.

Para el mecánico tenemos:

θ(t) Desplazamiento angular

ω=dθ(t)/dt;

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