Convolucion

INTRODUCCION

El cálculo de convolución de señales es muy usado en comunicaciones, análisis armónico, etc., permitiendo encontrar fácilmente muchos resultados importantes.

La integral de convolución, la, podemos interpretar como el área bajo la curva resultante del producto entre x ( ) y h (t - ).

El cálculo de la integral se puede realizar de dos maneras, analíticamente (resolviendo las integrales planteadas) o gráficamente (calculando las áreas respectivas a partir de los gráficos realizados para las señales).

La convolución con (t) se calcula valiéndose de la propiedad de separación de la función (t), que permite escribir la función x(t) como la suma de infinitos pulso pesados:

MARCO TEORICO

CONVOLUCIÓN

En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de media móvil, como se puede observar si una de las funciones se toma como la función característica de un intervalo.

La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia .

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t - η) no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.

Si e son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.

Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:

Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).

CONVOLUCIÓN EN TIEMPO CONTINUO

La respuesta y(t) de un sistema lineal y estacionario en tiempo continuo a una entrada arbitraria x(t) viene dada por la integral de convolución.

y(t)= ∫_(-∞)^(+∞)▒〖h(v).x(t-v).dv〗

donde h(t), que se asume conocida, es la respuesta del sistema a un impulso unitario en la entrada.

Para obtener la salida y(t) en un tiempo t determinado, primero se resuelve el producto h(v).x(t-v) como una función de la variable v. Luego se procede a la integración del mismo respecto a v obteniéndose y(t).

Estas operaciones matemáticas tienen una interpretación gráfica muy sencilla. Primero se traza h(v) y una versión invertida "temporalmente" y desplazada de la entrada (x(t)) dada por x(t-v), ambas en un eje v, donde t pasa a ser un parámetro fijo.

Luego se multiplican estas dos señales y se calcula el área encerrada por la función resultante de v (proceso de integración respecto a v) obteniéndose y(t). Esta última operación se repite para cada valor de t requerido.

Para observar la convolución en forma gráfica seleccione x(t) y h(t) de los ejemplos provistos o utilice el mouse para dibujar su propia señal o modificar alguna previamente seleccionada. Luego seleccione con el mouse el valor de t deseado sobre el primer eje de v. A continuación se representarán h(v) y x(t-v). Mueva el valor de t seleccionado sobre el eje v. Para cada t, se representará la función producto h(v).x(t-v) a ser integrada y la correspondiente salida y(t) resultante de la integración respecto a v.

CONVOLUCIÓN EN TIEMPO DISCRETO

Supongamos un sistema lineal e invariante en el tiempo (SLIT). Si la señal de entrada es x[n], la señal de salida y[n] se calcula a través de la convolución

La señal h[n], que se supone conocida, es la respuesta del sistema al impulso unidad d[n].

La interpretación gráfica de la suma de convolución es muy sencilla. Para calcular la salida y[n] en un cierto instante fijo n, primero se dibujan h[k] y la versión "abatida y desplazada" x[n-k] sobre el eje k. En segundo lugar, se multiplican ambas señales para obtener la señal h[k] x[n-k]. Si se suman todos los valores de la nueva señal con respecto a k obtendremos el valor de y[n]. Obsérvese que estas operaciones tienen que repetirse para cada valor de n.

Para tener cierta soltura en el manejo de esta operación, puede emplearse la siguiente ventana gráfica. El primer paso consiste en seleccionar las señales x[n] y h[n] a partir de las señales ejemplo, o bien a partir de señales definidas por el usuario. A continuación, pulsando en el eje k el valor deseado de n aparecerán las señales h[k] y x[n-k]. Si desplazamos la señal x[n-k], para cada valor de n obtendremos:

el producto h[k]x[n-k],

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