La Convolucion

Capítulo 5 La Operación de Convolución

5.1 La convolución para sistemas discretos

En la figura 5.1.1 aparece un diagrama de bloques de un procesador de señales de tiempo discreto

(a)

Fig. 5.1.1 Procesador de tiempo discreto

El cual se modela por medio de una ecuación en diferencias o ecuación de recurrencias

y[n]= (x[n]+x[n-1])/2= 1/2 x[n]+1/2 x[n-1]

Este tipo de procesadores se denomina no recursivo, dado que su salida se expresa solo en términos de la secuencia de entrada x[n].

Este procesador simple puede actuar como filtros pasabajas, reduciendo la amplitud de componentes que varíen rápidamente en la secuencia de entrada.

Consideremos una secuencia de entrada mediante la siguiente tabla calculemos el valor de la salida

N 0 1 2 3 4 5 6 7

x[n] 5.0 6.0 2.6 4.1 2.2 5.5 1.7 5.0

x[n-1] 0 5.0 6.0 2.6 4.1 2.2 5.5 1.7

y[n]=(x[n]+x[n-1])/2 2.5 5.5 4.3 3.35 3.15 3.85 3.6 3.35

Tabla5.1.1 Secuencia de entrada y secuencia de salida

La tabla contiene en la primera línea la secuencia discreta de entrada al procesador x[n] y en la segunda línea la secuencia retardada x[n-1]. Cada termino de la secuencia de salida y[n] del procesador es el promedio de x[n] y x[n-1] y representa una estimación en cualquier instante n.

Puesto que la operación de obtención del promedio en efecto se mueve a lo largo de la secuencia de entrada, el procesador se denomina promediador móvil de dos términos. El efecto uniformador del promediador móvil se ilustra claramente en la figura 5.1.2 parte inferior secuencia de salida.

Por tanto, si interpolamos ambas señales fig. 5.1.2, al comparar la entrada con la salida se observa que amplitud de las fluctuaciones de la secuencia de la salida se reducen en forma considerable, salida es más suave que la entrada esto es precisamente lo que hace el procesador.

En el caso general de los procesadores de tiempo discreto están representados mediante una ecuación en diferencias en donde los valores actuales de la salida pueden depender de los N y M valores pasados de la entrada y de la salida.

Fig. 5.1.2 comparando la entrada y la salida del procesador.

Código matlab de la fig.5.1.2

n=[0:1:7];

x=[5.0,6.0,2.6,4.1,2.2,5.5,1.7,5.0];

n1=[0:1:7];

y=[2.5,5.5,4.3,3.35,3.15,3.85,3.6,3.35 ];

subplot(2,1,1),stem(n,x,'linewidth',3),title('secuenciade entrada'),grid; subplot(2,1,2),stem(n1,y,'linewidth',3),title('secuencia de salida'),grid

La forma general de la ecuación de un sistema discreto es:

y[n]=b_0 x[n]+b_1 x[n-1]+b_2 x[n-2]+⋯+b_M x[n-M]-a_1 y[n-1]-a_2 y[n-2]+⋯-a_N y[n-N]

Índices de tiempo de la sumatoria de los términos dela salida se modifican para incluir: y[n] con k=o

Por lo que

Recordando el operador de transformación en el dominio del tiempo

y[n]=H{x[n] }

H=(∑_(k=0)^N▒〖a_k y[n-k] 〗)/(∑_(i=0)^M▒〖b_i x[n-i] 〗)

La ecuación anterior describe la transformación que realiza el sistema sobre la señal de entrada y se denomina ecuación de diferencias lineales o ecuación de recurrencia (se utilizara más tarde).

Representación de una señal o secuencia discreta mediante una suma de muestras unitarias desplazadas y escaladas:

Primero definamos una señal discreta que se conoce como la secuencia muestra unitaria definida así:

δ[n]={█(1,n=0@0,n≠0)┤

Ver fig. 5.1.3

Fig. 5.1.3 función muestra unitaria.

Código en matlab:n1=[-4:1:-1]; n2=[0]; n3=[1:1:4]; n=[n1,n2,n3]; x1=zeros.*n1; x2=1; x3=zeros.*n3;

x=[x1,x2,x3];stem(n,x,'filled','linewidth',3),grid

1.- La señalmuestra unitaria se puede escalar en amplitud y desplazar ver fig. 5.1.4

3δ[n-3]={█(1,n=3@0,n≠3)┤

Fig. 5.1.4 muestra unitaria escalada y retardada tres instantes de muestreo.

Códigomatlab:

n1=[-4:1:2]; n2=[3]; n3=[4:1:8]; n=[n1,n2,n3]; x1=zeros.*n1; x2=3; x3=zeros.*n3;x=[x1,x2,x3]; stem(n,x,'r','filled','linewidth',3),grid

La muestra unitaria es útil para representar cualquier secuencia discreta como una suma de impulsos desplazados y escalados de manera formal:

(5.1.1)

Ejemplo 5.1.1

Sea una secuencia discretadefinida

x[n] = 2,3, -2, 1 ver la fig. 5.1.5

Fig. 5.1.5 grafica de la secuenciax[n] = 2,3, -2, 1

Código en matlab

n1=[-4:1:-1]; n2=[0]; n3=[1];n4=[2]; n5=[3]; n=[n1,n2,n3,n4,n5]; x1=zeros.*n1;x2=2; x3=3; x4=-2; x5=1; x=[x1,x2,x3,x4,x5];

stem(n,x, 'filled','linewidth',3),grid

Esta secuencia x[n] = 2,3, -2, 1 se puede representar por medio de una suma de secuencias muestra unitaria escalada y retardada.

Secuencia x[n] representada mediante una suma de muestras unitarias desplazadas y escaladas.

Fig.5.1.7 2 δ[n]

Fig.5.1.8 3δ[n-1]

Fig. 5.1.9 -2δ[n-2]

Fig.5.1.10 δ[n-3]

La secuencia x[n] representada mediante la función muestrea unitaria como una suma infinita de muestras unitarias retrasadas y escaladas:

Si esta señal muestra unitaria δ[n] se utiliza para excitar un sistema de tiempo discreto LTI la respuesta a dicha entrada se la conoce como la respuesta a la muestra unitaria h[n] y caracteriza al sistema en el dominio del tiempo.

δ[n]→sistemaLTI→h[n]

Procesador no recursivo: “la salida depende de la entrada actual y de entradas retardadas”:

Sea el modelo matemático de un procesador

y[n]=1/2 x[n]+1/2 x[n-2]

Para obtener la respuesta a la muestra unitaria se escribe la ecuación de recurrencia completa:

y[n]=1/2 x[n]+0x[n-1]+1/2 x[n-2]

La respuesta a l muestra unitaria se obtiene de los coeficientes numéricos de la ecuación de recurrencia completa:

h[n]=1/2,0,1/2

Note que los respuesta a la muestraunitaria tiene términos finitos por lo tanto este procesador se le conoce como filtro “FIR”.

Procesador recursivo (la salida depende de la entrada actual y de salidas retardadas): Sea el modelo matemático de un procesador donde la salida depende de la entrada actual y de salidas retardadas:

y[n]=x[n]+y[n-1]-1/2 y[n-2]

Fig. 5.1.11 diagrama de bloques de un procewsador

Encontremos la respuesta a la muestra unitaria de este procesador discreto

(n)

0 1 2 3 4 5 6 7

x[n] = δ[n]

1

0

0

0

0

0

0

0

y[n-1]

0

1

1

½

0

-1/4

-1/4

-1/8

y[n-2]

0

0

1

1

½

0

-1/4

-1/4

y[n]=x[n]+

y[n-1]-

1/2 y[n-2]

1

1

1/2

0

-1/4

-1/4

-1/8

0

Como se puede observar la entrada es

x[n]=δ[n]secuenciamuestraunitaria

Corresponde la salida:

y[n]=h[n]=1,1,1/2,0,-1/(4,),-1/4,-1/8,o,

Ya que la respuesta a la muestra unitaria tiene términos infinitos este procesador se le conoce como filtro IIR.

Podemos verificar el anterior resultado si utilizamos el programa matlab:

Existe un comando en matlab para encontrar la respuesta a la muestra unitaria “impz”; dicho comando evalúa n valores de la respuesta a la muestra unitaria, el vector “b” contiene los coeficientes constantes de x[n] y todos los coeficientes de los retardos de la entrada x [n-N] y el vector “a” contiene todos los coeficientes constantes

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