Criterios De Convergencia
Enviado por AguiFex • 28 de Octubre de 2013 • 465 Palabras (2 Páginas) • 248 Visitas
Criterios de Convergencia
– Criterio de cauchy para series -
“La serie Σxn en ℜ converge si y sólo si para todo número ɛ > 0 existe un número natural M ( ɛ)
tal que si m > n ≥ M (ɛ) , entonces
∣Sm − Sn ∣=∣ xn+1 + xn+2 +...+ xm∣ < ɛ . ”
Como la sucesión Sm toma valores en los naturales, podemos ver a esta suma parcial como una sucesión de numeros
naturales y como Sm converge ya que por hipotesis la serie Σxn converge, concluimos que Sm
es de Cauchy y si Sm es de Cauchy entonces esta suma parcial converge y la serie Σxn también.
Ejemplo: La serie Σn
=0
∞ 2n + 5
3n es convergente ya que
Σn
=0
∞ 2n + 5
3n = Σn
=0
∞
((23
)
n
+ 5(13
)
n
)
= Σ
n=0
∞
(23
)
n
+ 5Σn=0
∞
(13
)
n
= 1
(1−23
)
+ 1
(1−13
)
= 21
2
Como la serie es convergente entonces también es de Cauchy.
Ahora mostraremos que la serie Σn
=0
∞
(23
)
n
es de Cauchy por medio de la definición:
Sea ɛ > 0 , m >n y r =23
,
∣Sm − Sn ∣=∣1 − r m
1 − r − 1 − rn
1 − r ∣=∣1 − r m −1 + rn
1 − r ∣
=∣rn−rm
1 − r ∣ ≤ ∣ r ∣n +∣ r ∣m
∣1 − r ∣
≤ 2 ∣ r ∣n
∣1 − r ∣
< ɛ
luego,
∣ r ∣n
∣1 − r ∣
≤ ɛ2
n ln( ∣ r∣ )≤ ln( ɛ ∣1 − r∣
2 )
n ≥
ln( ɛ ∣1 − r ∣
2 )
ln( ∣ r ∣ )
= M ( ɛ)
De aqui que,
∣Sm − Sn ∣< ɛ , siempre que m > n ≥
ln ( ɛ ∣1 − r ∣
...