¿Cómo encuentro los puntos donde una función es continua?

¿Cómo encuentro los puntos donde una función es continua?

Para encontrar los puntos donde una función es continua es estarse refiriendo al dominio, que son los valores de x donde la función existe, es decir evitar los valores para los que la función x no existe. Hay funciones para las cuales no existe ningún valor de x para que la función f(x) no exista, pero para funciones racionales (fracción) su dominio es todos los R (conjunto de los números reales) menos para los valores que hacen 0 el denominador; para las funciones irracionales (que contienen una raíz) su dominio es todos los R (conjunto de los números reales); las raíces de índice impar existen siempre, las de índice impar existen siempre que su contenido sea mayor o igual que cero es decir no existen las raíces negativas; las funciones logarítmicas con aquellas que la x está dentro de un logaritmo, existen siempre y cuando el contenido del logaritmo no sea 0 o un número negativo, es decir, existirán siempre y cuando el contenido del logaritmo sea mayor que 0.

Resuelve los ejercicios de repaso del aula, los de límites y los de continuidad.

lim┬(x→9)⁡〖(√x-3)/(x-9)〗

Para empezar a resolver el límite identifico que se hace una indeterminación en el denominador

lim┬(x→9)⁡〖(√9-3)/(9-9)=(3-3)/0=0/0〗

Esta función existirá siempre, menos cuando el denominador sea igual a 0. Por tanto, encontramos que el número 9 es esa restricción que anula al denominador; por lo que debemos buscar una manera de factorización para evitar que el denominador se vuelva cero, en este caso usaremos una diferencia de cuadrados que es de la siguiente forma:

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Aplicando la diferencia de cuadrados al denominador obtenemos lo siguiente:

x-9=(√x-3)(√x-3)

Por lo que sustituimos en el denominador la expresión equivalente:

lim┬(x→9)⁡〖(√x-3)/(√x-3)(√x-3) 〗

Si nos fijamos adecuadamente podemos apreciar que podemos simplificar la ecuación y obtendríamos la siguiente:

lim┬(x→9)⁡〖1/(√x+3)〗

Una vez modificada la expresión y eliminada la indeterminación (la expresión que hacía cero el denominador) sustituyo el valor de x que me indica el límite y resuelvo algebraicamente

lim┬(x→9)⁡〖1/(√9+3)〗

lim┬(x→9)⁡〖1/(3+3)=1/6〗

Por

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