Diagrama De Hasee

DIAGRAMA DE HASSE

En matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos intermedios.

En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar:

• ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden parcial es reflexiva.

• aristas que se deducen de la transitividad de la relación.

definición

• De dos miembros x e y de un conjunto parcialmente ordenado S que «y sigue a x» si x ≤ y y no hay elemento de S entre x e y.

El orden parcial es entonces precisamente la clausura transitiva de la relación de seguir.

• El diagrama de Hasse de S se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tales que y sigue a x, es decir, el diagrama de Hasse se puede identificar con la relación de seguir.

Ejemplo

Concretamente, uno representa a cada miembro de S como un punto negro en la página y dibuja una línea que vaya hacia arriba de x a y si y sigue a x.

Por ejemplo, sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisores de 60). Este conjunto está ordenado parcialmente por la relación de divisibilidad. Su diagrama de Hasse puede ser representado como sigue:

Por ejemplo, en el diagrama de Hasse del poset de todos los divisores de un número n, ordenados parcialmente por divisibilidad, n mismo está en el tope del diagrama, el número 1 estaría en el fondo, y los divisores más pequeños (primos) seguirían al elemento inferior.

Relación con grafos

Un diagrama de Hasse puede verse también como un grafo al que se le quitan todos sus bucles y sus aristas que pueden deducirse con la propiedad transitiva y propiedad reflexiva.

La dificultad de encontrar un buen diagrama de Hasse

Las relaciones «seguir a» queda definida de modo único a partir de la relación de orden inicial. Esto hace que las aristas del diagrama de Hasse y los puntos que conectan queden determinados también de forma única. Pero existe un problema adicional: encontrar una ubicación adecuada para los vértices que pueda reflejar alguna de las simetrías subyacentes. En este sentido, encontrar un buen diagrama es difícil.

Se han propuesto varios algoritmos para dibujo de «buenos» diagramas, pero hoy en día su construcción sigue basándose en una fuerte intervención humana. De hecho, incluso un humano necesita bastante práctica para elaborarlos.

Los siguientes ejemplos corresponden a diagramas de Hasse de una misma relación de orden: es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Hasse

Helmut Hasse (25 de agosto de 1898 – 26 de diciembre 1979) fue un matemático alemán que trabajó en teoría algebraica de números, conocido por sus contribuciones fundamentales a la teoría de cuerpos de clases, la aplicación de números p-ádicos a la teoría de cuerpos de clases locales y geometría diofántica (principio de Hasse), y a las funciones zeta locales.

Tras servir en la marina en la Primera Guerra Mundial, estudió en la universidad de Göttingen y después en Marburgo bajo Kurt Hensel, escribiendo una disertación en 1921 que contenía el teorema de Hasse–Minkowski, como ahora es llamado, de formas cuadráticas sobre cuerpos numéricos. Luego ocupó cargos en la Kiel, Halle y Marburgo. Fue el reemplazo de Hermann Weyl en Göttingen en 1934; políticamente fue un nacionalista de derecha y solicitó su admisión en el partido nazi en 1937, pero le fue denegado porque tenía antepasados judíos. Después del periodo de guerra, volvió a Göttingen brevemente en 1945, pero fue excluido por las autoridades británicas. Después de pasar brevemente por Berlín, desde 1948 se instaló definitivamente como profesor en Hamburgo.

Colaboró con muchos matemáticos, en particular con Emmy Noether y Richard Brauer en algebras simples; y con Harold Davenport en sumas gaussianas (relaciones de Hasse–Davenport) y con Cahit Arf en el teorema de Hasse–Arf.

http://es.wikipedia.org/wiki/Helmut_Hasse

Conjunto bien ordenado

Para poner el principio del buen orden en un contexto más amplio, definiremos acá lo que significa que un conjunto esté bien ordenado. En primer lugar, un orden en un conjunto es una relación denotada usualmente por el símbolo ≤ que es refleja, transitiva y antisimétrica. Si además, para cada par de elementos a,b del conjunto se cumple a≤b ó b≤a, diremos que el orden es un orden total.

Un elemento a de un conjunto ordenado se llama menor elemento si a≤b para todo elemento b del conjunto.

Podemos ahora definir lo que es un conjunto bien ordenado. Un conjunto bien ordenado es un conjunto con un orden que cumple que cualquier subconjunto no vacío tiene un menor elemento.

Ejemplos:

1. A={1,12,13,14,…1n,…}⊆Q, no tiene un menor elemento, ya que cualquier elemento en A se puede escribir como 1n y se puede encontrar otro elemento en A que es menor (por ejemplo 1n+1).

2. Sea S={1,2,3}. El conjunto S está bien ordenado ya que, como se puede observar directamente, todo subconjunto no vacío tiene

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