Ecuacion Dimensional

ANALISIS DIMENSIONAL

Es la parte de la física que estudia las relaciones entre las magnitudes fundamentales y derivadas. En el sistema internacional de unidades, establecido en 1960, se consideran siete magnitudes fundamentales.

Las magnitudes fundamentales son: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia

Las magnitudes derivadas son: área, volumen, densidad, velocidad, aceleración, fuerza, potencia, energía, etc.

Sistema internacional de unidades:

Magnitud fundamental Unidad Dimensión Símbolo

Longitud metro L m

Masa kilogramo M kg

Tiempo segundo T s

Temperatura kelvin θ K

Intensidad de corriente amperio I A

Intensidad luminosa candela J cd

Cantidad de sustancia mol N mol

FÓRMULA DIMENSIONAL

Es aquella igualdad matemática que muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las magnitudes fundamentales. La dimensión de una magnitud física se representa mediante el siguiente modo:

Sea la A la magnitud física:

[A] : Se lee dimensión de la magnitud física A:

Formulas dimensionales básicas:

[Longitud] = L

[Masa] = M

[Tiempo] = T

[Temperatura] = θ

[Intensidad de corriente eléctrica] = I

[Intensidad luminosa] = J

[Cantidad de sustancia] = N

[Número] = 1

[Área] = L2

[Volumen] = L3

[Densidad] = ML-3

[Velocidad] = LT-1

[Aceleración] = LT-2

[Fuerza] = MLT-2

[Trabajo] = ML2T-2

[Energía] = ML2T-2

[Potencia] = ML2T-3

[Presión] = ML-1T-2

[Periodo] = T

[Frecuencia] = T-1

[Velocidad angular] = T-1

[Ángulo] = 1

[Caudal] = L3T-1

[Aceleración angular] = T-2

[Carga eléctrica] = IT

[luminación] = JL-2

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Es una fórmula física, todos los términos de la ecuación son dimensionalmente iguales

A – B2 = C

2

Entonces:

[A]= [B2] = ⌊C/D⌋

Ejemplo:

En la siguiente fórmula física: h = a + b.t + c.t2

Dónde: h: altura

t : tiempo

Hallar la dimensión de a, b y c:

Solución:

[ h ] = [ a ] = [b.t] = [c.t2]

Donde:

De I L = [ a ]

De II L = [ b ]T [ b ] = LT-1

De III L = [ c ] T2 [ c ] = LT-2

CASOS ESPECIALES

1. Propiedad de los ángulos:

Los ángulos son números, en consecuencia, la dimensión de los ángulos es igual a la unidad.

Ejemplo: En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de x

A= K cos (2πXt)

Donde: t: tiempo

Solución:

La dimensión del ángulo es igual a la unidad:

[ 2πXt ]= 1 [ X ] T = 1

[ 2π ] [ X ] [ t ] = 1 [ X ] = T-1

2. Propiedad de los exponentes:

Los exponentes son siempre números, por consiguiente la dimensión de los exponentes es la unidad.

Ejemplo: En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.

X = A3Kf

Dónde: f: frecuencia

Solución:

La dimensión del exponente es igual a la unidad

[3Kf ] = 1 [ K ] T -1 =1

[3] [K] [ f ] = 1 [ K ] = T

3. Propiedad de la adición y sustracción:

En las operaciones dimensionales no se cumple las reglas de la adición y sustracción.

L + L = L ………….(1)

M – M = M ………….(2)

Ejemplo: hallar la dimensión de R en la siguiente fórmula física:

R = ( k – t )( k2 + a )( a2-b ) Donde t : tiempo

Solución:

Por el principio de homogeneidad

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