APLICACIONES DE EIGENVALORES / EIGENVECTORES

APLICACIONES DE EIGENVALORES / EIGENVECTORES

Tienen muchas aplicaciones en las matemáticas y en la ingeniería, como para encontrar los momentos de inercia y los ejes de inercia de solidos rígidos; también para encontrar las frecuencias naturales de oscilación de los sistemas lineales.

EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LOS EIGENVALORES / EIGENVECTORES

* A medida que la tierra rota, los vectores en el eje de rotación permanecen invariantes. Si se considera la transformación lineal que sufre la tierra tras una hora de rotación, una flecha que partiera del centro de la tierra al Polo Sur geográfico sería un vector propio de esta transformación, pero una flecha que partiera del centro a un punto del ecuador no sería un vector propio. Dado que la flecha que apunta al polo no cambia de longitud por la rotación, su valor propio es 1.

* Otro ejemplo sería una lámina de metal que se expandiera uniformemente a partir de un punto de tal manera que las distancias desde cualquier punto al punto fijo se duplicasen. Esta expansión es una transformación con valor propio 2. Cada vector desde el punto fijo a cualquier otro es un vector propio, y el espacio propio es el conjunto de todos esos vectores.

* Considérese una cuerda sujeta por sus extremos, como la de un instrumento de cuerda (mostrada a la derecha). La distancia de los átomos de la cuerda vibrante desde sus posiciones cuando ésta está en reposo pueden interpretarse como componentes de un vector en el espacio con tantas dimensiones como átomos tenga dicha cuerda.

Si se supone que la cuerda es un medio continuo y se considera la transformación de la cuerda en el transcurso del tiempo, sus vectores propios o funciones propias son sus ondas estacionarias—lo que, mediante la intervención del aire circundante, se puede interpretar como el resultado de tañer una guitarra. Las ondas estacionarias corresponden a oscilaciones particulares de la cuerda tales que la forma de la cuerda se escala por un factor (el valor propio) con el paso del tiempo.

Cada componente del vector asociado con la cuerda se multiplica por este factor dependiente del tiempo. Las amplitudes (valores propios) de las ondas estacionarias decrecen con el tiempo si se considera la atenuación. En este caso se puede asociar un tiempo de vida al vector propio, y relacionar el concepto de vector propio con el concepto de resonancia.

* Orbitales moleculares

En mecánica cuántica, y en particular en física atómica y molecular, y en el contexto de la teoría de Hartree-Fock, los orbitales atómicos y moleculares pueden definirse por los vectores propios del operador de Fock. Los valores propios correspondientes son interpretados como potenciales de ionización a través del teorema de Koopmans. En este caso, el término vector propio se usa con un significado más general, pues el operador

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