Ejercicios de numeros primos y enteros

Probar que el cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o bien 3k + 1

: Sea n ∈ Z ⇒ n es de la forma: 3r, 3r + 1 o bien 3r + 2.

Caso 1: n = 3r ⇒ n2 = 9r2 = 3(3r2) = 3k.

Caso 2: n = 3r+1 ⇒ n2= 9r2+6r +1 = 3(3r2 + 2r) + 1 = 3k + 1.

Caso 3: n = 3r + 2 ⇒ n2= 9r2+ 12r + 4 = 3(3r2 + 4r) + 1 = 3k + 1

∴ el cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o bien 3k+1▪

Los pi , para 1 ≤ i ≤ n, son números primos, luego todos, excepto p1, que es 2, son impares de aquí que el producto p2 · p3 · · · pn sea impar. Por el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto se podría escribir en la forma

p2 · p3 · · · pn = 2q + r, con 0 ≤ r < 2

y como ha de ser impar, r solo puede ser 1. Pues bien,

− Si r = 1, entonces

 p2 · p3 · · · pn = 2q + 1 =⇒ p1 · p2 · p3 · · · pn + 1 = 2(2q + 1) + 1

=⇒ Pn = 4q + 3

=⇒ Pn=3(q+1)+q

=⇒ Pn=3k+q

3k+q≠3k+1 ^ 3k+q≠3k con qꞓ ℤ -{0,1} (Si q=0, entonces 3+q=3k, pero 4*0+3=3 y 3 no es ni cuadrado de algún entero, ni producto entre primos; asimismo, si q=1, entonces 3k+q=3+1, pero 4*1+3=7 y 7 tampoco es cuadrado de algún entero, ni producto entre primos)

∴ Pn es de la forma 3k + q, con k entero. Y, según el apartado (a), no es un cuadrado. ▪

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